그래프 클러스터 구조 테스트: 서브선형 알고리즘과 이론적 한계

초록

이 논문은 최대 차수가 제한된 그래프에서 정점들을 최대 k개의 클러스터로 나눌 수 있는지 여부를 서브선형 시간(≈√n) 안에 판별하는 속성 테스트 알고리즘을 제시한다. 클러스터는 내부 전도도가 φ 이상이고 외부 전도도가 O(d,k·ε⁴·φ²) 이하인 집합으로 정의한다. 제안된 알고리즘은 확률 2/3 이상으로 (k, φ)-클러스터 가능 그래프를 받아들이고, φ* = O_{d,k}(φ²·ε⁴/ log n) 이하의 전도도를 가진 클러스터 구조와 ε-멀리 떨어진 그래프는 거부한다. 이 복잡도는 그래프 확장 테스트에 대한 알려진 Ω(√n) 하한과 일치해 최적에 가깝다.

상세 분석

본 연구는 bounded‑degree 모델에서 그래프의 클러스터 구조를 속성 테스트하는 문제를 공식화하고, 이를 해결하기 위한 서브선형 알고리즘을 설계한다. 핵심 정의는 (k, φ)-clusterable 그래프이며, 이는 정점 집합 V를 최대 k개의 파티션 {C₁,…,C_h} (h ≤ k) 로 나누어 각 파트 C_i가 내부 전도도 φ(G