두 단계 디리클레 랜덤 워크

초록

본 논문은 d 차원 유클리드 공간에서 두 단계로 구성된 디리클레 랜덤 워크의 종단점 거리 확률밀도함수를 일반적인 양의 파라미터 q에 대해 명시적으로 유도한다. 대칭 디리클레 분포를 가정한 경우, 거리 pdf는 모든 차원 d>1에서 동일한 형태를 갖는다. 이를 바탕으로 비대칭 베타 분포(파라미터 q와 q+s, s는 양의 정수)로 단계 길이를 설정한 두 단계 워크의 거리 밀도식도 도출한다.

상세 분석

논문은 먼저 디리클레 랜덤 워크의 정의를 명확히 한다. n 단계의 워크에서 각 단계의 방향은 독립적으로 균등하게 선택되고, 단계 길이 벡터는 Dirichlet(q₁,…,qₙ) 분포를 따른다. 여기서 총합이 1로 고정되므로, 각 단계 길이는 베타 혹은 다변량 베타 형태를 띤다. 두 단계(n=2) 경우는 특히 단순해지는데, Dirichlet(q,q) 가 대칭 베타(q,q)와 동일하므로 파라미터 하나 q만으로 기술된다. 저자는 먼저 거리 R=‖X₁+X₂‖의 확률밀도 f_R(r) 를 구한다. 방향이 균등하므로, 두 단계 벡터의 합은 원점에서 거리 r을 갖는 구면상의 점으로 사상된다. 이를 위해 고전적인 구면좌표 적분과 베타 함수 성질을 활용한다. 핵심은 조건부 확률밀도 p(r|ℓ₁) 를 ℓ₁∈