삼각형이 없는 그래프의 구조와 완전 이분 그래프 및 5 사이클의 유일성

초록

본 논문은 정점 수 n≥3인 단순 삼각형‑금지 그래프 G가 최소 차수 δ(G)≥(n‑1)/2이며 완전 매칭을 갖지 않을 때, G는 반드시 5‑길이 사이클 C₅ 혹은 두 부분집합 크기가 (n‑1)/2와 (n+1)/2인 완전 이분 그래프 K_{(n‑1)/2,(n+1)/2}와 동형임을 증명한다.

상세 분석

이 논문은 “최소 차수 ≥ (n‑1)/2”라는 강력한 조건 하에서 삼각형‑금지 그래프의 구조를 완전히 규정한다는 점에서 의미가 크다. 먼저, 조건 (a)와 Ore의 정리(δ(G)≥(n‑1)/2 ⇒ G는 해밀턴 경로를 가짐)를 결합해 G가 해밀턴 경로를 갖는다는 사실을 도출한다. 이는 완전 매칭이 존재하지 않으면 n이 홀수임을 즉시 추론하게 만든다. 다음으로 최대 차수 Δ(G)를 조사한다. 가정에 모순되지 않도록 Δ(G)≤(n+1)/2임을 보이는데, 만약 Δ(G)≥(n+3)/2라면 최고 차수 정점 u와 그 이웃 집합 {v₁,…,v_k} (k≥(n+3)/2)를 고려한다. 남은 정점 수 l=n−k−1≤(n‑5)/2이므로, 최소 차수 조건에 의해 어떤 v_i와 다른 이웃 v_j 사이에 간선이 존재하게 되고, 이는 u, v_i, v_j가 삼각형을 이루어 (c)와 모순된다. 따라서 Δ(G)≤(n+1)/2가 성립한다.

Δ(G)=(n+1)/2인 경우를 살펴보면, 최고 차수 정점 u의 이웃 집합 V={v₁,…,v_k} (k=(n+1)/2)와 나머지 정점 집합 U={u₁,…,u_l} (l=(n‑3)/2)를 정의한다. 최소 차수 조건으로 인해 각 v_i는 모든 u_j와 연결되어야 하며, (c)로부터 V 내부와 U 내부에는 어떠한 간선도 존재하지 않는다. 이는 바로 두 부분집합 사이에 모든 가능한 간선이 존재하는 완전 이분 그래프 K_{(n‑1)/2,(n+1)/2}와 동형임을 의미한다.

다음으로 Δ(G)=(n‑1)/2인 경우를 분석한다. 이때 (a)와 (b)로부터 G는 정규 그래프이며 차수 r=(n‑1)/2이다. n이 홀수이므로 r은 짝수이며, r≥4라고 가정하면 모순이 발생한다. 구체적으로 임의의 간선 uv를 선택하고, u와 v의 나머지 이웃들을 각각 {u₁,…,u_{r‑1}}와 {v₁,…,v_{r‑1}}라 두면, 삼각형 금지 조건에 의해 두 집합은 서로 겹치지 않는다. 남은 정점 w가 이들 집합에 연결되는 방식을 경우별로 분석하면, 결국 w와 어떤 두 정점이 삼각형을 이루게 되어 (c)를 위배한다. 따라서 r은 2이어야 하고, n=2r+1=5가 된다. 차수가 2인 5정점 그래프는 정확히 5‑사이클 C₅와 동형이다.

결과적으로, 최소 차수 (n‑1)/2와 완전 매칭 부재라는 두 조건은 삼각형‑금지 그래프를 오직 두 종류, 즉 K_{(n‑1)/2,(n+1)/2}와 C₅로 제한한다. 이는 기존의 Mantel 정리와 Andr´asfai‑Erdős‑Sós 정리와는 다른 관점을 제공한다. 특히, 완전 매칭 부재라는 추가 조건이 그래프의 차수 분포를 강하게 제한함으로써 구조적 유일성을 확보한다는 점이 흥미롭다. 또한 증명 과정에서 사용된 간단한 카운팅과 삼각형 금지 조건의 조합은 그래프 이론에서 유사한 구조적 결과를 도출할 때 유용한 기법으로 활용될 수 있다.