수소 시계 가시성 그래프와 분수 브라운 운동: 허스트 지수와 위상 특성의 관계

초록

본 연구는 허스트 지수 H 가 0 ~ 1 사이인 분수 브라운 운동(FBM) 시계열을 수소 시계 가시성 그래프(HVG)로 변환하고, 그래프의 군집계수, 평균 최단경로 길이, 모티프 분포, 프랙탈 차원, 피어슨 상관계수 등 위상적 특성이 H에 따라 어떻게 변하는지를 체계적으로 조사한다. 결과는 H가 증가할수록 군집계수가 감소하고, 평균 최단경로 길이는 지수적으로 늘어나며, 프랙탈 차원은 감소한다는 점을 보여준다. 또한, 그래프는 전반적으로 양의 피어슨 계수를 갖는 동질성(assortative) 네트워크이며, H≈0.6 에서 피어슨 계수의 최소값을 보인다. 이러한 프랙탈성과 동질성의 공존은 기존의 프랙탈 네트워크가 보통 비동질적(disassortative)인 점과 대비된다.

상세 분석

수소 시계 가시성 그래프(HVG)는 시계열의 각 데이터 포인트를 정점으로, 두 정점 사이에 수평선이 다른 모든 데이터 값을 가로지르지 않을 경우에만 간선을 연결하는 단순한 매핑 규칙을 갖는다. 이 방법은 원본 시계열의 순서와 크기 정보를 보존하면서 복잡계 네트워크 분석 도구를 적용할 수 있게 해준다. 본 논문은 이러한 HVG를 분수 브라운 운동(Fractional Brownian Motion, FBM) 시계열에 적용하였다. FBM은 허스트 지수 H 에 의해 자기상관성 및 스무딩 정도가 결정되는 확률 과정으로, H 가 0.5보다 작으면 반분산, 0.5보다 크면 지속성을 나타낸다.

연구진은 H 값을 0.1부터 0.9까지 0.1 간격으로 변화시키며, 각 H 에 대해 길이 N = 2 × 10⁴ 인 시계열을 100번 독립적으로 생성하였다. 이후 HVG를 구축하고, 군집계수 C, 평균 최단경로 길이 L, 모티프 발생 빈도, 박스-카운팅을 통한 프랙탈 차원 d_B, 그리고 피어슨 상관계수 r을 계산하였다.

주요 결과는 다음과 같다. 첫째, C는 H가 증가함에 따라 단조 감소한다. 이는 높은 H 값이 시계열을 보다 부드럽게 만들어 인접 정점 간의 가시성을 감소시키고, 결과적으로 삼각형 형태의 클러스터가 적어지는 현상으로 해석된다. 둘째, L은 고정된 N 하에서 H에 대해 지수적으로 증가한다. 특히 H ≈ 1에 가까울수록 L 은 N에 대해 거의 선형 관계를 보이며, H ≈ 0에 가까울수록 로그 형태의 증가를 나타낸다. 이는 높은 지속성을 가진 시계열이 그래프 구조를 더 길고 얇게 만들고, 반대로 반분산 시계열은 보다 촘촘한 연결망을 형성함을 의미한다.

셋째, 네트워크 모티프(3‑노드와 4‑노드 서브그래프)의 순위는 H 에 따라 변하지만, 전반적인 순위 패턴은 유지된다. 이는 FBM의 자기상관성이 모티프의 절대 빈도에 영향을 주지만, 기본적인 구조적 서열은 변하지 않음을 시사한다. 넷째, 박스‑카운팅 방법을 적용한 결과, 모든 H 값에 대해 HVG는 프랙탈성을 보이며, 프랙탈 차원 d_B는 H가 커질수록 감소한다. 이는 시계열이 더 부드러워질수록 그래프의 복잡도가 낮아짐을 정량화한다.

다섯째, 피어슨 상관계수 r은 전반적으로 양수이며, 이는 고차 정점이 고차 정점과, 저차 정점이 저차 정점과 연결되는 동질성(assortative) 특성을 의미한다. 흥미롭게도 r은 H ≈ 0.6 에서 최소값을 보이며, H 이 그보다 작거나 크면 다시 증가한다. 이는 중간 수준의 지속성이 네트워크의 연결 편향을 가장 약하게 만든다는 의미이며, 기존 프랙탈 네트워크가 보통 비동질적(disassortative)인 점과 대조된다.

이러한 결과는 HVG가 시계열의 통계적 특성을 네트워크 위상으로 효과적으로 반영함을 입증한다. 특히 H 에 따른 군집성, 경로 길이, 프랙탈 차원, 동질성의 변화를 통해 FBM의 자기상관 구조를 정량적으로 파악할 수 있다. 향후에는 이러한 방법을 실제 물리·생물·경제 데이터에 적용해 복잡한 동적 시스템의 내재된 스케일과 연결성을 탐색하는 데 활용할 수 있을 것이다.