다중 상수 곱셈 문제를 위한 최적 PBS 인코딩 및 해결 알고리즘

초록

본 보고서는 다중 상수 곱셈(MCM) 문제를 의사불리언 만족도(PBS) 형태로 변환하는 세 가지 인코딩 방식을 제시하고, 이를 이용해 최적 해를 찾는 알고리즘을 설계한다. 제안된 인코딩과 최적화 절차는 기존 연구에서 처음으로 MCM을 PBS 문제로 공식화한 사례이며, 각 인코딩의 변수·제약 수와 해결 시간 측면에서 여러 PBS 솔버의 성능을 실험적으로 비교한다.

상세 분석

MCM 문제는 디지털 신호 처리와 암호학 등에서 다수의 상수를 동일한 입력에 곱해야 하는 상황을 모델링한다. 전통적으로는 그래프 기반의 최적화 혹은 힐 클라이밍, 동적 계획법 등이 사용되어 왔으나, 최적 해를 보장하기는 어려웠다. 본 논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 MCM을 0‑1 변수와 선형 부등식으로 표현하는 의사불리언 만족도(PBS) 문제로 변환한다. 세 가지 인코딩은 (1) 직접적인 연산 트리 모델링, (2) 공유된 중간 결과를 활용한 DAG 기반 모델, (3) 비트‑레벨 가산기와 시프트 연산을 결합한 하이브리드 모델로 구분된다. 첫 번째 인코딩은 구현이 간단하지만 변수와 절약 제약이 급증해 대규모 인스턴스에 비효율적이다. 두 번째 인코딩은 중간 결과의 재사용을 통해 변수 수를 크게 줄이며, 특히 동일한 부분곱이 여러 상수에 반복될 때 효과가 두드러진다. 세 번째 인코딩은 비트‑레벨 연산을 명시적으로 모델링함으로써, PBS 솔버가 내부적으로 수행하는 선형 연산 최적화와 잘 맞아 작은 문제에서는 뛰어난 성능을 보인다.

알고리즘 측면에서는, 인코딩 단계에서 생성된 PBS 식을 목표 함수(사용된 시프트·덧셈 연산 수 최소화)와 함께 최적화 문제로 정의한다. 이를 위해 논문은 “Iterative Bound Tightening” 기법을 도입해 초기 상한을 설정하고, 솔버가 찾은 해를 기반으로 상한을 점진적으로 낮추는 반복 과정을 설계한다. 이 과정은 PBS 솔버가 제공하는 UNSAT 코어 추출과 결합되어, 불필요한 변수와 제약을 조기에 제거함으로써 탐색 공간을 크게 축소한다. 또한, 인코딩별로 서로 다른 변수 정렬(ordering)과 클라우드 기반 병렬 실행 전략을 적용해 솔버의 내부 휴리스틱을 최적화한다.

실험에서는 MiniSat+, Sat4j, Open-WBO 등 대표적인 PBS 솔버를 대상으로 30여 개의 벤치마크 인스턴스를 테스트하였다. 결과는 인코딩 2가 평균 변수 수와 절약 제약에서 가장 효율적이며, 특히 10~15개의 상수를 포함하는 중대형 인스턴스에서 최단 실행 시간을 기록했다. 반면, 인코딩 3은 작은 인스턴스(상수 수 ≤5)에서 최적 해를 가장 빠르게 찾았으며, 비트‑레벨 모델링 덕분에 솔버가 내부적으로 수행하는 갈등 분석(conflict analysis)을 효과적으로 활용했다. 인코딩 1은 가장 단순하지만, 변수 폭발과 제약 과다로 인해 대규모 인스턴스에서는 시간 초과가 빈번했다. 전체적으로, 제안된 최적화 알고리즘은 기존 힐 클라이밍 기반 방법에 비해 평균 30% 이상의 해 찾기 시간을 단축했으며, 최적 해를 보장한다는 점에서 실용적 가치가 크다.

본 논문의 주요 기여는 (1) MCM 문제를 PBS 형태로 최초 공식화한 점, (2) 세 가지 상호 보완적인 인코딩 설계와 그 복합적 성능 분석, (3) 반복적 상한 조정과 UNSAT 코어 활용을 결합한 최적화 알고리즘 제시이다. 이러한 접근은 PBS 기반 최적화가 디지털 회로 설계, 컴파일러 레지스터 할당 등 다른 정수 최적화 문제에도 확장 가능함을 시사한다. 향후 연구에서는 인코딩 자동 선택 메커니즘과 하드웨어 가속 PBS 솔버를 결합해 실시간 시스템 설계에 적용하는 방안을 모색할 수 있다.