코링 모듈 범주에서 대표함수와 모리타 이론의 통합

초록

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이 논문은 왼쪽 코링 (C)‑코모듈 범주 ({}{R}^{C}\mathcal M)와 왼쪽 (S)‑모듈 범주 ({}{S}\mathcal M) 사이의 대표함수들을 조사한다. 대표함수 전체 범주가 ({}{R}^{C}\mathcal M{S})의 반대 범주와 동형임을 보이고, ((S,R))‑양측대 (U)에 대해 유도함수 (U\otimes_{R}-)가 대표함수, 범주 동형, 분리함수, 혹은 Frobenius 함수가 되기 위한 필요충분조건을 제시한다. 결과는 고전적인 모리타 정리와 최근 코링‑코모듈에 대한 연구를 일반화·통합한다.

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상세 분석

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논문은 먼저 ({}{R}^{C}\mathcal M)와 ({}{S}\mathcal M) 사이의 함자들을 범주론적 관점에서 정리한다. 대표함수란 어떤 객체 (X)에 대해 (\operatorname{Hom}{{}{R}^{C}\mathcal M}(X,-))와 동형인 함자를 의미하는데, 여기서는 ({}{R}^{C}\mathcal M)에서 ({}{S}\mathcal M)로 가는 모든 함자를 조사한다. 핵심 정리는 ({\bf Rep}({}{R}^{C}\mathcal M, {}{S}\mathcal M))가 ({}{R}^{C}\mathcal M{S})의 반대 범주와 동형이라는 사실이다. 즉, 각 ((R,S))‑양측대 (M)이 ({}{R}^{C}\mathcal M{S})의 객체라면, (M)을 통해 정의되는 함자 (\operatorname{Hom}{{}{R}^{C}\mathcal M}(M,-))가 정확히 ({}{R}^{C}\mathcal M)에서 ({}{S}\mathcal M)로 가는 대표함수가 된다. 이 동형은 코링 구조와 양측대 구조가 서로 호환된다는 가정 하에 구성되며, 구체적인 사상은 코링의 공액 작용과 텐서곱을 이용해 정의된다.

다음으로 저자는 고정된 ((S,R))‑양측대 (U)에 대해 유도함자
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