완전 이진 1오류 정정 코드 길이 15 완전 분류

본 논문은 길이 15인 완전 이진 1오류 정정 코드와 그 연장형인 길이 16 코드를 전면적으로 분류하고, 이를 바탕으로 길이 14의 최적 코드와 (15, 1024, 4) 코드까지 완전 열거한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫째, 서론에서는 완전 코드의 정의와 기존 이론적 배경을 정리한다. 이진 완전 코드는 Hamming 거리 3을 갖는 (2^m‑1, 2^{2^m‑m‑1}, 3) 형태이며, 선형 경우는 해밍 코드가 유일하지만 비선형 경우는 무수히 많다. 특히 길이 7까지는 유일함이 알려졌으나, 길이 15에서는 아직 전면적인 분류가 이루어지지 않았다. 둘째, 기본 개념과 스테이너 시스템과의 연결을 제시한다. 코드 C가 1‑완전이면, 임의의 코드워드 x에 대해 무게 3인 코드워드들의 집합은 Steiner triple system S(2, 3, v)를, 연장형 코드에서는 무게 4인 코드워드들의 집합이 Steiner quadruple system S(3, 4, v)를 형성한다. 따라서 길이 16 연장형 코드를 찾기 위해서는 먼저 S(3, 4, 16)의 모든 비동형 설계를 알아야 한다. 저자들은 Kaski·Ostergård·Pottonen이 2006년에 수행한 S(3, 4, 16) 분류(1 054 163개 설계)를 활용한다. 셋째, 알고리즘 설계와 구현을 상세히 설명한다. 각 Steiner quadruple system Q에 대해 0벡터와 그 이웃 4‑쿼드러플 시스템을 고정하고, 남은 좌표들을 채워 1‑완전 코드를 구성한다. 이는 정확히 “Exact Cover” 문제이며, libexact 라이브러리를 이용해 효율적으로 해결한다. 탐색 과정에서 평균 트리 크기는 1 978노드, 실패 트리는 3노드에 불과해 계산량이 매우 낮았다. 동형성 검증은 두 단계로 이루어진다. 첫 단계에서는 Aut(Q) 하에서 최소 코드를 선택해 대표성을 확보한다. 두 번째 단계에서는 nauty를 이용해 각 코드 C에 대해 모든 시프트 x에 대한 정규형 c_I(C+x)를 구하고, 그 최소값 c_E(C)를 정의한다. 이때 x와 0이 같은 Aut(C) 궤도에 있으면 동일한 코드로 판단한다. 또한, 거리 4 삼각형 구조를 이용한 불변량을 도입해 검증 속도를 크게 향상시켰다. 넷째, 결과와 검증을 제시한다. 최종적으로 2 165개의 연장형 1‑완전 코드(길이 16, 파라미터 (16, 2048, 4)), 5 983개의 1‑완전 코드(길이 15), 38 408개의 길이 14 단축 코드, 그리고 5 983개의 (15, 1024, 4) 코드를 발견하였다. 각 코드의 자동동형군 크기 분포는 표 1‒3에 정리되어 있으며, 일부 코드는 2^27 이상의 대칭군을 가지는 반면, 다수는 수백에서 수천 수준이다. 결과의 일관성을 확인하기 위해 두 가지 독립적인 계산 방법을 사용했다. 첫 번째는 오비트‑스테빌라이저 정리를 이용해 전체 코드 수를 직접 합산하는 방식이며, 두 번째는 각 Steiner 설계 Q에 대해 가능한 확장 수 E(Q)를 계산해 합산하는 방식이다. 두 방법 모두 동일한 총 개수 2 795 493 027 033 907 200을 산출했으며, 이는 1‑완전 코드와 단축 코드에 대해서도 동일하게 검증되었다. 논문의 마지막 부분에서는 향후 연구 방향을 제시한다. 완전 코드와 Steiner 시스템 사이의 깊은 연결 고리를 활용해 비선형 완전 코드의 구조적 특성을 더 정밀히 분석할 수 있으며, 최소 거리 그래프를 통한 재구성 문제 등도 앞으로 탐구할 가치가 있다. 또한, 현재 제공된 코드 데이터베이스는 추가적인 실험과 응용(예: 오류 정정, 암호 설계)에서 바로 활용 가능하도록 공개되었다.