하이퍼볼릭 옥토니온 곱셈을 위한 저곱셈 복잡도 알고리즘 유도

초록

본 논문은 하이퍼볼릭 옥토니온 두 개의 곱을 수행할 때 기존 64개의 실수 곱셈과 56개의 실수 덧셈을 필요로 하는 방식보다 훨씬 효율적인 알고리즘을 제시한다. 제안된 방법은 행렬‑벡터 곱 형태로 문제를 재구성하고, 해당 행렬이 갖는 특수한 대칭·희소 구조를 이용해 26개의 실수 곱셈과 92개의 실수 덧셈만으로 결과를 얻는다.

상세 요약

하이퍼볼릭 옥토니온은 8차원 실수 벡터 공간 위에 정의된 대수 구조로, 실수 단위 1과 7개의 허수 단위 e₁,…,e₇을 갖는다. 이들 허수 단위는 일반적인 옥토니온과 달리 하이퍼볼릭(또는 퍼시클리컬) 곱셈 규칙을 따르며, e_i·e_i = +1 혹은 –1 로 정의되는 비대칭적인 제곱값을 가진다. 이러한 특성 때문에 두 하이퍼볼릭 옥토니온의 곱을 직접 전개하면 8×8=64개의 실수 곱셈과 56개의 실수 덧셈이 필요하게 된다.

논문은 먼저 곱셈을 행렬‑벡터 형태로 표현한다. 구체적으로, 첫 번째 옥토니온을 열벡터 a =