P와 NP의 무한·유한 기저 탐구

초록

본 논문은 P와 NP 사이의 구분을 “기저 함수의 카디널리티”라는 새로운 관점에서 접근한다. 저자는 NP‑Complete 문제를 서로 독립적인 P‑Complete 문제들의 무한한 논리합으로 표현할 수 있다고 주장하고, 반면에 P‑Complete 문제는 유한 개의 최소 고정점 연산자만을 필요로 하므로 기저가 유한하다고 제시한다. 이를 통해 NP‑Complete 문제는 P 안에서 기술될 수 없으며, P 자체의 불완전성으로부터 동일한 결론을 도출한다는 결론을 내린다.

상세 분석

논문은 “함수 공간의 기저”라는 수학적 개념을 계산 복잡도 이론에 직접 끌어들여 P와 NP를 구분하려는 시도를 보인다. 먼저 저자는 NP‑Complete 문제를 “무한 차원의 함수 공간”에 위치시고, 그 기저를 각각 P‑Complete 문제라고 정의한다. 이때 ‘무한 차원’이라는 표현은 일반적인 선형대수학에서의 차원 개념을 차용한 것으로 보이지만, 복잡도 이론에서는 입력 크기에 따라 정의되는 언어 집합이 무한히 많다는 사실과는 별개이다. 또한 P‑Complete 문제들을 “독립”이라고 주장하는데, 이는 논리적·구조적 독립성을 의미하는지, 혹은 계산적 복잡도 관점에서 상호 변환 불가능함을 의미하는지 명확히 규정되지 않는다.

다음으로 저자는 “각 P 문제는 최대 유한 개의 최소 고정점 연산자(LFP)를 포함한다”는 전제를 내세운다. 최소 고정점 연산자는 논리적 서술력과 연관된 개념으로, FO(LFP)와 같은 논리 체계에서 P를 기술한다는 사실은 알려져 있다. 그러나 ‘최소 고정점 연산자의 개수가 유한하다’는 주장은 증명 없이 단순히 직관에 의존하고 있다. 실제로 P‑Complete 문제마다 필요한 LFP 연산자의 수를 정량화하는 체계적인 방법은 존재하지 않으며, 복잡도 이론에서는 연산자의 수보다는 연산 시간이나 공간의 다항적 한계가 핵심이다.

논문은 또한 “P는 불완전하다”는 주장으로 결론을 보강한다. 여기서 불완전성은 고전적인 수학적 불완전성(예: Gödel’s incompleteness)과 혼동되는 듯하다. P는 결정론적 튜링 기계로 정의된 언어 클래스이며, 논리 체계가 아니라 계산 모델이므로 ‘불완전성’이라는 용어를 적용하는 것은 개념적 오류다.

전반적으로 논문은 몇 가지 핵심적인 정의가 부실하고, 기존 복잡도 이론과 논리학 사이의 연결 고리를 충분히 증명하지 않은 채 결론을 도출한다. 특히 “무한 논리합”, “독립적인 기저”, “유한 개의 LFP 연산자”와 같은 주장들은 정형화된 정의와 정량적 증명이 없으며, 현재 알려진 복잡도 이론의 기본 정리와도 모순되는 부분이 있다. 따라서 제시된 접근법은 흥미롭지만, 현재 형태로는 P ≠ NP를 증명하거나 기존 결과를 대체할 수 있는 충분한 근거를 제공하지 못한다.