교사와 학교의 안정적 매칭 연구

초록

이 논문은 교사가 두 과목을 전공하는 현실을 모델링하여 교사와 학교 간의 안정적 매칭 문제를 정의하고, 두 가지 선호 구조에 대해 존재 여부와 복잡도, 그리고 최소 차단쌍 매칭의 근사 불가능성을 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 교사 할당 문제를 두‑측면 선호 모델로 정형화한다. 각 교사는 두 개의 전공 과목을 가지고, 학교는 과목별 정원 제한을 가진다. 안정성 정의는 교사와 학교가 현재 배정보다 서로를 더 선호하면서 정원 제약을 위배하지 않는 경우를 차단쌍으로 규정한다. 두 가지 선호 형태가 핵심적으로 구분된다. 첫 번째는 학교가 모든 지원자를 과목에 관계없이 동일한 순위 리스트로 평가하는 경우이며, 두 번째는 학교가 각 전공 과목마다 별도의 순위 리스트를 갖는 경우이다. 첫 번째 경우에 대해 저자는 마스터 리스트(전역 순위)가 존재하지 않을 때 안정 매칭 존재 여부 결정이 NP‑complete임을 증명한다. 특히 과목 수가 세 개에 불과하고, 각 학교의 과목별 정원은 2 이하이며, 교사의 선호 리스트 길이도 3 이하인 제한된 인스턴스에서도 NP‑hardness를 보인다. 반면, 학교 혹은 교사의 선호가 마스터 리스트에 의해 완전히 정해지면 Gale‑Shapley의 직렬 독재(serial dictatorship) 알고리즘을 확장하여 유일한 안정 매칭을 다항시간에 찾을 수 있음을 제시한다. 두 번째 선호 형태, 즉 과목별로 다른 학교 순위가 허용되는 경우에는 마스터 리스트가 존재하더라도 문제는 여전히 NP‑complete이다. 여기서는 과목별 마스터 리스트와 학교 전체 마스터 리스트가 모두 주어지는 상황에서도 안정 매칭 존재 여부가 결정 불가능함을 보인다. 마지막으로 차단쌍 수를 최소화하는 매칭을 찾는 최적화 문제에 대해 강력한 근사 불가능 결과를 증명한다. 두 안정성 정의 모두에 대해 최소 차단쌍 매칭을 다항시간 근사 알고리즘으로 해결할 수 없으며, 특정 상수 이하의 근사비도 보장되지 않는다. 이러한 결과는 교사‑학교 매칭을 실제 정책에 적용할 때, 선호 구조 설계와 마스터 리스트 활용이 문제의 계산적 난이도를 크게 좌우한다는 실질적 함의를 제공한다.