헥사곤 거북이 문제의 마법 상수 범위 분석

초록

본 논문은 한국 전통 퍼즐인 헥사곤 거북이 문제(HTP)의 마법 상수가 정해진 값이 아니라, 각 정점이 한 번·두 번·세 번씩 포함되는 방식에 따라 일정 범위 내에서 변동한다는 점을 밝힌다. 저자들은 정점을 여러 그룹으로 분할하고, 각 그룹에 대한 합계 제약식을 세워 선형 방정식 시스템을 구성한다. 이를 통해 30‑정점 3×3 대각형 형태를 포함한 여러 HTP에서 가능한 최소·최대 마법 상수를 계산하고, 그 범위를 일반화하는 방법을 제시한다.

상세 분석

헥사곤 거북이 문제는 전통적인 마방진과 달리 정점이 겹쳐지는 구조를 가지고 있다. 즉, 하나의 정점이 여러 개의 작은 육각형에 동시에 속할 수 있으며, 이때 해당 정점은 그 등장 횟수만큼 가중치를 가진다. 이러한 특성 때문에 전체 합을 일정하게 유지하면서도 각 정점에 부여되는 값의 배분이 자유로워, 마법 상수(Magic Constant)가 고정값이 아니라 가능한 값들의 구간을 형성한다. 논문에서는 먼저 HTP를 그래프 이론적 관점에서 모델링한다. 각 정점을 V, 각 육각형을 E라 두고, 정점‑육각형 인접 관계를 인접 행렬 A로 표현한다. 정점 i가 k번 등장한다면 A의 해당 열에 k가 기록된다. 마법 상수 S는 모든 육각형의 합이 동일해야 함을 의미하므로, A·x = S·1 (여기서 x는 정점에 할당된 숫자 벡터, 1은 모든 육각형에 대한 단위벡터)이라는 선형 방정식이 성립한다.

이때 x의 원소는 1부터 N(정점 수)까지의 서로 다른 정수이며, 각 정점이 몇 번 등장하는지는 정점별 가중치 w_i (1, 2, 3 중 하나)로 정의된다. 따라서 전체 합은 Σ w_i·x_i = S·t (t는 육각형의 총 개수)와 같은 식으로 나타낼 수 있다. 저자들은 이러한 식들을 기반으로, 정점들을 “한 번 등장 그룹”, “두 번 등장 그룹”, “세 번 등장 그룹”으로 구분하고, 각 그룹 내에서 가능한 최소·최대 합을 계산한다. 구체적으로, 한 번 등장 그룹에 속한 정점들의 합은 최소값을 얻기 위해 가장 작은 숫자를, 최대값을 얻기 위해 가장 큰 숫자를 배정한다. 두 번·세 번 등장 그룹도 동일한 원칙을 적용하되, 가중치가 곱해진다는 점을 고려한다.

그 결과, 전체 마법 상수 S는 아래와 같은 구간을 가진다.

• 최소 S_min = ( Σ_{i∈G1} 1·i + Σ_{i∈G2} 2·i + Σ_{i∈G3} 3·i ) / t
• 최대 S_max = ( Σ_{i∈G1} 1·(N−i+1) + Σ_{i∈G2} 2·(N−i+1) + Σ_{i∈G3} 3·(N−i+1) ) / t

여기서 G1, G2, G3는 각각 한 번·두 번·세 번 등장하는 정점 집합이다. 논문은 30정점 3×3 대각형 형태를 사례로 들어, G1=12개, G2=12개, G3=6개임을 확인하고, 위 식을 적용해 S_min=84, S_max=102를 도출한다. 실제로 93이라는 기존 마법 상수는 이 구간의 중간값에 해당한다.

또한 저자들은 다른 형태의 HTP(예: 19정점 삼각형, 37정점 별형)에도 동일한 그룹 분할 방식을 적용하여, 각 경우에 가능한 마법 상수 구간을 계산한다. 이 과정에서 정점 배치에 따라 그룹 크기가 달라지므로, 구간의 폭도 다양하게 변한다. 특히, 정점이 많이 겹치는 구조일수록 가중치가 큰 그룹(G3)의 비중이 커져 구간이 넓어지는 경향을 보인다.

마지막으로, 논문은 이러한 구간 분석이 HTP의 해 탐색 알고리즘 설계에 실질적인 도움을 줄 수 있음을 강조한다. 예를 들어, 백트래킹이나 제약 만족 문제(CSP) 접근 시, 사전에 계산된 S_min·S_max 구간을 이용해 불가능한 후보 값을 빠르게 배제함으로써 탐색 공간을 크게 축소할 수 있다.