독립 도착시간을 갖는 Δ(i)/GI/1 대기열의 유체·확산 한계 연구

초록

본 논문은 고객이 사전에 정해진 분포 F에서 독립적으로 도착 시간을 샘플링하는 Δ(i)/GI/1 대기열 모델을 제안한다. 정확한 해석이 어려워, 큐 길이와 서비스 과정에 대한 유체 한계와 확산 한계를 도출하고, 이들 한계가 반사 과정, 브라운 모션·브라운 브리지의 결합, 그리고 Skorokhod 반사 맵의 방향 미분 형태로 나타남을 보인다. 또한 전이적 Little 법칙과 M1 위상에서의 약수렴을 증명하고, J1 위상에서는 수렴이 불가능함을 확인한다.

상세 분석

Δ(i)/GI/1 모델은 전통적인 포아송 도착 가정 대신, 고정된 인구집단의 각 고객이 사전에 정의된 누적분포함수 F에서 독립적으로 도착시간을 추출한다는 점에서 독특하다. 이 경우 도착시간은 F의 순서통계량이 되며, 인접한 도착시간 차이는 순서통계량의 차이, 즉 “간격분포”에 해당한다. 이러한 구조는 도착 과정이 비정상적이며, 전통적인 마코프성이나 독립증가성 가정을 위배한다. 따라서 정확한 확률분포를 구하기는 사실상 불가능에 가깝다.

논문은 이를 극복하기 위해 두 가지 스케일링을 적용한다. 첫 번째는 시스템 규모를 N으로 확대하면서 시간과 상태를 N에 비례하게 스케일링하는 유체(Deterministic) 한계이다. 이 한계에서는 도착 누적량이 F의 누적분포함수와 일치하고, 서비스 누적량은 평균 서비스시간 1/μ에 비례한다. 결과적으로 큐 길이의 유체 한계는 “net‑put” 과정, 즉 도착량에서 서비스량을 뺀 과정에 대한 반사(reflection) 연산을 적용한 형태가 된다. 즉, 비음수 제약을 만족하도록 Skorokhod 반사 맵을 적용한 반사 과정으로 나타난다.

두 번째는 유체 한계에 대한 √N 규모의 확률적 변동을 포착하는 확산(Diffusion) 한계이다. 여기서는 도착 과정의 변동이 두 가지 독립적인 확률 과정으로 분해된다. 첫 번째는 전통적인 중앙극한정리에 의해 나타나는 브라운 모션 W(t)이며, 두 번째는 순서통계량의 특성에서 유도되는 브라운 브리지 B(t)이다. 두 과정은 각각 도착량의 전체 변동과 고정된 인구집단 내에서의 “재배치” 변동을 설명한다. 확산 한계의 핵심 결과는 net‑put 과정에 대한 확산 변동을 Skorokhod 반사 맵에 적용한 방향 미분 형태, 즉
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