1차원 페아노 연속체가 IFS 끌개가 될 수 없는 이유

본 논문은 “1‑차원 페아노 연속체가 IFS‑끌개가 될 수 없는가?”라는 오래된 질문에 부정적인 답을 제시한다. 서론에서는 IFS‑끌개의 정의와 기본 성질을 소개한다. IFS‑끌개는 유한개의 수축 자기지도 f₁,…,fₙ에 의해 X = ⋃_{i=1}^{n} f_i(X) 로 표현되는 컴팩트 메트릭 공간이며, 이러한 공간은 항상 ‘속성 S’를 가진다. 속성 S는 임의의 ε>0에 대해 직경이 ε보다 작은 연결 부분집합들로 X를 유한히 덮을 수 있음을 의미한다. 이와 연관된 차원 개념으로 S‑차원(S‑Dim)이 도입되었으며, 이는 전통적인 위상 차원(dim)보다 크거나 같다. 제2절에서는 IFS‑끌개의 S‑차원이 반드시 유한함을 보인다. 구체적으로, 수축 상수 λ = max_i Lip(f_i) < 1 와 지도 개수 n에 대해 S‑Dim(X) ≤ -ln n / ln λ 가 성립한다는 정리(정리 2.1)를 증명한다. 증명은 IFS의 반복 적용을 통해 ε-스케일 이하의 커버를 구성하고, 그 개수를 n^k 로 제한함으로써 로그 비율을 계산하는 방식이다. 따라서 IFS‑끌개는 언제든지 유한한 S‑차원을 가져야 한다는 중요한 제약을 얻게 된다. 그 다음 저자들은 ‘shark‑teeth’ 형태의 새로운 리임‑유한 평면 페아노 연속체 M을 정의한다. 기본 함수 φ는 구간