방향성 무가중 그래프에서 유클리드 거리와 밀도 복원

본 논문은 “방향성 무가중 기하학적 그래프”라는 새로운 데이터 모델을 제시하고, 이 그래프만을 관측했을 때 잠재적인 유클리드 거리 척도 \(\varepsilon(x)\)와 점들의 밀도 \(p(x)\)를 일관적으로 복원할 수 있음을 증명한다. 1. **문제 설정** - 잠재 점 집합 \(X=\{x_1,\dots,x_n\}\subset\mathbb{R}^d\) 는 독립적으로 \(p(x)\) 에 따라 샘플링된다. - 각 점 \(x_i\) 에 대해 반경 \(\varepsilon_n(x_i)\) (점에 따라 달라질 수 있음)을 정의하고, \(|x_i-x_j|<\varepsilon_n(x_i)\) 이면 방향성 간선 \(i\to j\) 를 만든다. - 이때 그래프는 일반적으로 비대칭이며, k‑최근접 이웃 그래프는 \(\varepsilon_n(x_i)\)가 \(k\)번째 이웃 거리와 동일한 특수 경우이다. - 목표는 그래프 구조와 차원 \(d\) 만을 이용해 \(\varepsilon(x)\)와 \(p(x)\)를 복원하는 것이다. 2. **주요 가정** - (A) \(p(x)\)는 \(C^1\)이며, 경계가 매끄러운 컴팩트 영역 \(D\)에 정의된다. - (B) \(\varepsilon_n(x)\)는 확률적으로 변할 수 있지만, 스케일링 상수 \(g_n\to0\)와 함께 \(g_n^{-1}\varepsilon_n(x)\)가 연속 함수 \(\varepsilon(x)>0\) 로 균등 수렴한다. - (C) 정규화된 정류분포 \(n\pi_{X_n}(x)\)가 균등 등연속성을 가진다(현재는 추정 가정). 3. **랜덤워크와 연속극한** - 그래프 위의 단순 랜덤워크 \(X_n(t)\)를 시간 스케일 \(h_n=g_n^2\) 로 재조정한다. - Stroock‑Varadhan 기준을 이용해, \(X_n(t/h_n)\)는 약하게 이토 과정 \(Y(t)\) 로 수렴한다. - \(Y(t)\)는 \