베른디크 법칙과 물리 통계분포의 숨은 연관성

초록

본 논문은 볼츠만‑가우스, 페르미‑디랙, 보스‑아인슈타인 세 가지 주요 통계분포에 대해 비정수 첫째 자리(베른디크) 법칙을 검증한다. 결과는 BG와 FD가 온도에 따라 베른디크 분포를 주기적으로 약간 벗어나지만, BE는 온도와 무관하게 정확히 베른디크 법칙을 따른다는 것이다. 또한 데이터의 유효숫자(맨티사) 분포와 베른디크 법칙의 스케일·베이스 불변성 등 수학적 특성을 논의한다.

상세 분석

베른디크 법칙은 “첫 번째 비영(非零) 자리수 d(1≤d≤9)의 등장 확률이 P(d)=log10(1+1/d)”라는 로그형 분포로, 다양한 실세계 데이터에 보편적으로 나타난다. 저자들은 이 법칙이 물리학의 근본적인 통계분포에도 적용되는지를 검증하기 위해 세 가지 대표적인 분포—볼츠만‑가우스(BG), 페르미‑디랙(FD), 보스‑아인슈타인(BE)—를 분석하였다.

먼저 BG 분포 f_BG(E)=β e^{−βE} (β=1/kT) 를 고려한다. 첫째 자리수가 d가 되도록 하는 에너지 구간은