블로업의 유리동형 유형: 안정 경우에 대한 완전 모델링

** 본 논문은 복소벡터다발 구조를 가진 법선다발을 갖는 임베딩 f : V → W 에 대해, 그 블로업 W′ 의 유리동형 유형을 완전히 기술하는 방법을 제시한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 블로업의 위상학적 정의를 재정리한다. 임베딩 f 의 근방 T 를 원판다발 D ν와 동형시킨 뒤, 구다발 S ν 에 S¹ 액션을 적용해 복소프로젝트화 P ν 를 만든다. 이때 W 는 T 와 그 여집합 B = W \ T 의 합집합으로 표현되며, 블로업 W′ 은 푸시아웃 ∂T ← B ∪ P ν 으로 얻어진다. 이 푸시아웃은 호모토피 푸시아웃이므로, Sullivan의 A_{PL} 함자를 적용하면 호모토피 풀백으로 바뀐다. 두 번째 부분에서는 풀백을 구성하기 위한 두 개별 모델을 만든다. 첫 번째 모델은 k : ∂T → B 에 대한 것으로, 여기서는 “shriek map” f! 을 체인 수준에서 구현한다. 차원 가정 dim W ≥ 2·dim V + 3 와 H¹(f) 단사성은 f! 이 존재하고, 매핑 콘 Cone(φ!) 이 반자명 CDGA 구조를 갖게 한다는 것을 보장한다. 구체적으로, 임베딩의 모델 φ : R → Q 에 대해 R ⊕ s^{−r}Q 에 차등을 정의하고, 이를 φ ⊕ id 으로 A_{PL}(k) 의 모델로 만든다. 두 번째 모델은 q : ∂T → P ν 에 대한 것으로, 법선다발의 Chern 클래스 c_i(ν) 를 이용해 자유 교환대수 Λ(x, z) ( |x| = 2, |z| = 2k−1 ) 에 차등 Dz = ∑ γ_i x^{k−i} (γ_i 은 c_i(ν) 의 대표)를 부여한다. 이렇게 하면 Q ⊗ Λ(x, z) 가 P ν 의 CDGA 모델이 되고, 투사 proj : Q ⊗ Λ(x, z) → Q ⊗ Λ(z) 가 A_{PL}(q) 의 모델이 된다. 세 번째 부분에서는 두 모델을 일치시키는 동형을 명시한다. k 의 모델에서 ∂T 의 모델은 Q ⊕ s^{−r}Q 이며, q 의 모델에서는 Q ⊗ Λ(z) 이다. 차원 제한 덕분에 두 구조는 Q‑dg‑module 및 CDGA 수준에서 동형이며, 방향 클래스와 법선다발의 오리엔테이션 정보를 이용해 정확한 동형을 선택한다. 마지막으로, 이 동형을 이용해 풀백을 취하면 블로업 W′ 의 전체 CDGA 모델 B(R,Q) = (R ⊕ Q ⊗ Λ(x,z), D) 가 얻어진다. 여기서 D 는 R 의 차분과 Q ⊗ Λ(x,z) 의 차분을 결합한 것이며, 차원 제한이 없을 경우 발생할 수 있는 모호성을 차단한다. 주요 정리(Theorem 1.1, Theorem 7.8)는 다음과 같다. dim W ≥ 2·dim V + 3, W 가 단순연결이며 V 가 nilpotent이면, W′ 의 유리동형 유형은 f 의 유리동형 클래스와 법선다발의 Chern 클래스 c_i(ν) 에만 의존한다. 더 일반적으로 H¹(f; ℚ) 가 단사이고 V, W, W′ 가 nilpotent이면 같은 결론이 성립한다. 차원 제한을 없애면 동일한 f 와 c_i(ν) 에도 불구하고 서로 다른 블로업이 존재함을 저자들은 예시와 기존 연구(