확률적 전염과 면역을 고려한 지연 미분 방정식 기반 컴퓨터 바이러스 전파 모델

초록

**
본 논문은 기존 SIR 모델이 무작위 네트워크에만 적용되는 한계를 극복하고자, 노드별 감염·면역 확률을 반영한 pSEIRS 모델을 제안한다. 지연 미분 방정식(DDE)을 이용해 잠복기와 면역기의 고정 시간을 도입하고, 감염률을 전체 인구와 감염자 수의 곱에 비례하도록 설정한다. 시뮬레이션 결과는 규모가 큰 무척추 네트워크에서도 모델이 현실적인 전파 양상을 재현함을 보여준다.

**

상세 분석

**
pSEIRS 모델은 전통적인 SIR/SEIR 체계에 두 가지 핵심 변수를 추가한다. 첫째, 각 노드가 감염될 확률 p와 사망할 확률 (1‑p)를 별도로 정의함으로써, 실제 컴퓨터 네트워크에서 보안 패치 적용 여부나 백신 소프트웨어 설치 상태와 같은 이질성을 반영한다. 둘째, 잠복기(Exposed)와 면역기(Recovered) 기간을 고정된 지연 시간 τ_E, τ_R 로 설정하고, 이를 지연 미분 방정식 형태로 수식화한다. 구체적으로, 감염률 β는 I(t)·N(t) 에 비례하도록 정의되어, 전체 네트워크 규모가 커질수록 전파 속도가 가속화되는 현상을 자연스럽게 모델링한다. 또한 사망률 μ와 초과 사망률 μ_excess 를 감염 노드에만 적용함으로써, 감염이 진행 중인 시스템의 자원 소모와 서비스 중단을 정량화한다.

수학적 안정성 분석에서는 특성 방정식의 근을 통해 기본 재생산수 R₀ 를 도출하고, R₀>1 일 때 전파가 지속되는 임계 조건을 제시한다. 지연 항이 포함되면서 고유값이 복소수 쌍을 형성할 경우, 진동형 전파 패턴이 나타날 수 있음을 보이며, 이는 실제 사이버 공격에서 관찰되는 파동형 감염 급증과 일치한다.

시뮬레이션에서는 Barabási‑Albert 모델을 이용해 규모 자유 네트워크를 생성하고, 각 노드에 p 값을 이질적으로 할당하였다. 결과는 고정된 잠복기와 면역기가 없는 전통 SIR 모델에 비해 감염 피크가 낮고, 전파 종료 시점이 늦어지는 것을 확인한다. 특히 p 값이 낮은 고도 연결된 허브 노드가 면역을 획득하면 전체 네트워크의 전파 억제 효과가 급격히 증가한다는 점은, 실제 보안 정책에서 핵심 서버에 대한 방어 강화의 중요성을 뒷받침한다.

이와 같이 pSEIRS 모델은 확률적 전염·면역, 고정 지연, 그리고 규모 자유 토폴로지를 동시에 고려함으로써, 기존 모델이 놓치기 쉬운 복합적인 사이버 전파 현상을 정량적으로 설명한다.

**