볼록체를 둘러싼 무작위 다면체의 평균 너비와 면 수에 관한 비대칭적 접근

초록

본 논문은 d 차원 볼록체 K에 대해, K를 포함하는 n개의 독립적인 반평면(또는 반공간)의 교집합 K⁽ⁿ⁾을 고려한다. 적절한 확률분포 가정 하에 K⁽ⁿ⁾의 평균 너비와 K의 평균 너비 차이의 기대값이 n에 대한 명시적인 점근식으로 수렴함을 보이며, 동시에 K⁽ⁿ⁾의 면(또는 측면) 수의 기대값에 대한 점근식을 제시한다. 핵심 방법은 가중 부피 근사 결과를 이용해 내부에 삽입된 무작위 다면체에 대한 알려진 결과를 극성(polarity) 변환을 통해 외접형식으로 “대칭화”하는 데 있다.

상세 분석

이 연구는 기존의 “내접형 무작위 다면체(inscribed random polytope)”에 관한 부피·표면적 근사 이론을, “외접형(circumscribed) 무작위 다면체”에 적용하는 새로운 틀을 제시한다. 먼저 K를 포함하는 n개의 반평면 H₁,…,Hₙ을 독립적으로 선택한다. 각 반평면의 경계 초평면은 K의 외부에서 균등하게 선택된 방향 u∈S^{d‑1}와 거리 t>h_K(u) (h_K는 K의 지지함수)쌍으로 기술된다. 논문은 이때 t−h_K(u)의 분포가 일정한 꼬리 거동을 갖는다고 가정하고, 이를 통해 “가중 부피” 즉, ∫_{K⁽ⁿ⁾\K} φ(x)dx 형태의 적분을 분석한다. 여기서 φ는 K의 곡률에 따라 정의된 가중 함수이며, 이는 기존의 부피 근사에서 사용되는 균일 가중치와 차별화된다.

핵심 정리는 두 단계로 전개된다. 첫 번째 단계에서는 K 내부에 무작위 점들을 뽑아 만든 내접형 다면체 P_n에 대해 알려진 점근식
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