문자열 위상수학의 캡 곱

초록

이 논문은 자유 루프 공간 (LM) 위의 호몰로지에 정의된 캡 곱이 Chas‑Sullivan이 만든 루프 곱과 루프 괄호와 어떻게 호환되는지를 조사한다. 특히, 원형 작용을 통해 (M)에서 유도된 코호몰로지 원소와의 캡 곱이 두 연산 모두에 대해 도함수 역할을 함을 증명하고, 이로써 BV 구조를 코호몰로지까지 확장한다.

상세 분석

논문은 먼저 Chas‑Sullivan이 제시한 문자열 위상수학의 기본 구조를 요약한다. 여기서 (M)은 방향성을 가진 폐쇄 매끄러운 유한 차원 다양체이며, 자유 루프 공간 (LM=\operatorname{Map}(S^{1},M))의 호몰로지 (H_{*}(LM))는 연산적 구조인 BV 대수를 갖는다. BV 연산은 차수 (-1)의 연산 (\Delta)와 결합법칙을 만족하는 곱 (\bullet) (루프 곱), 그리고 (\Delta)를 이용해 정의되는 리 대수 구조 ({, , ,}) (루프 괄호)로 이루어진다.

저자는 (M)의 코호몰로지 (H^{}(M))가 원형 작용 (S^{1}\curvearrowright LM)을 통해 (H^{}(LM))에 포함된다는 사실을 이용한다. 구체적으로, (a\in H^{}(M))에 대해 원형 작용에 의해 얻어지는 클래스 (\tilde a\in H^{}(LM))를 정의하고, 이와 임의의 체인 (x\in H_{*}(LM)) 사이의 캡 곱 ( \tilde a\cap x)을 고려한다. 주요 결과는 다음과 같다.

1. 도함수 성질: 모든 (a\in H^{}(M))와 (x,y\in H_{}(LM))에 대해
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