평행 이동이 만든 함자 연결과 경로 군상의 새로운 다리

초록

연결을 가진 매끄러운 섬유다발의 평행 이동은 기본 다양체의 경로 군상에서 섬유를 기술하는 범주로 가는 함자를 만든다. 우리는 이와 같이 얻어지는 함자를 두 가지 개념—국소 자명화와 매끄러운 하강 데이터—로 특징짓는다. 이를 통해 함자 범주를 매끄러운 연결을 가진 섬유다발의 범주 대신 사용할 수 있는 방법을 제시한다. 또한 이 개념을 범주화된(고차) 다발의 연결에 일반화할 수 있음을 보이며, 그 일반화가 고차원 평행 이동을 이해하는 데 어떻게 기여하는지 설명한다.

상세 요약

이 논문은 전통적인 미분기하학에서 다루는 ‘연결(connection)’과 ‘평행 이동(parallel transport)’을 범주론적 시각으로 재구성한다는 점에서 학문적 혁신성을 갖는다. 기본 아이디어는 다음과 같다. 매끄러운 섬유다발 (E \to M)에 연결이 주어지면, 각 매끄러운 경로 (\gamma: