불확실성을 고려한 유한 마코프 연쇄의 민감도 분석

초록

초기 및 전이 확률이 정확히 알려지지 않은 경우, 확률을 신뢰 구간(credal set)으로 모델링하여 불확실성을 반영한 ‘불완전 마코프 연쇄’를 정의한다. 하한·상한 기대값을 이용하면 시간 전개를 효율적으로 계산할 수 있으며, 충분히 일반적인 조건 하에서 장기적으로는 초기 신뢰 구간에 관계없이 하나의 고유 신뢰 구간으로 수렴한다. 이는 고전적인 Perron‑Frobenius 정리를 불완전 마코프 연쇄에 확장한 결과이다.

상세 분석

본 논문은 유한 상태공간을 갖는 이산시간 마코프 연쇄에서, 초기 분포와 전이 확률이 정확히 알려지지 않은 상황을 다루기 위해 ‘credal set’이라 불리는 확률 집합을 기본 불확실성 모델로 채택한다. 각 상태에 대한 초기 확률 벡터와 각 상태-다음 상태 쌍에 대한 전이 확률을 각각 다중극점 집합 혹은 다면체 형태의 신뢰 구간으로 표현함으로써, 전통적인 확률론적 마코프 연쇄를 ‘불완전 마코프 연쇄(imprecise Markov chain)’로 일반화한다. 핵심 아이디어는 이러한 불완전성(불확실성)을 직접 다루는 대신, 하한 기대값(lower expectation)과 상한 기대값(upper expectation)이라는 두 개의 선형 함수로 시스템의 동역학을 압축한다는 점이다. 하한 기대값은 모든 가능한 전이 행렬 중 최악의 경우(가장 낮은 기대값)를, 상한 기대값은 가장 좋은 경우를 각각 제공한다. 이 두 함수는 전이 연산자에 대한 ‘하한·상한 연산자(lower/upper transition operator)’를 정의함으로써, 시간 n에서의 상태에 대한 credal set을 재귀적으로 계산할 수 있게 한다. 특히, 전이 연산자를 다면체 형태로 표현하면, 선형 계획법을 이용해 하한·상한 기대값을 다항식 시간 안에 정확히 구할 수 있다. 이는 기존의 ‘가능도 이론(possibility theory)’이나 ‘집합 확률(set-valued probability)’ 접근법에 비해 계산 복잡도가 크게 낮아진다.

논문은 또한 장기 행동을 분석한다. 전이 연산자가 ‘정규성(regularity)’ 혹은 ‘강한 연결성(strong connectivity)’과 같은 충분히 일반적인 조건을 만족하면, 시간 n→∞일 때 상태에 대한 credal set은 초기 credal set에 무관하게 하나의 고유 credal set으로 수렴한다. 이 고유 credal set은 하한·상한 전이 연산자의 고정점으로 정의되며, 고전적인 Perron‑Frobenius 정리의 확장 형태를 제공한다. 즉, 불완전 마코프 연쇄에서도 고유 확률분포가 존재하고, 모든 초기 불확실성이 사라지는 대신 ‘불확실성 구간’ 자체가 고정된 형태로 남는다. 이러한 수렴성 결과는 ‘수축성(contraction)’ 성질을 갖는 하한·상한 연산자의 Banach 고정점 정리를 이용해 증명되며, 수렴 속도에 대한 정량적 경계도 제시한다.

실제 적용 사례로는 신뢰도가 낮은 센서 데이터에 기반한 상태 추정, 금융 포트폴리오의 전이 위험 모델링, 그리고 로봇 경로 계획에서의 환경 불확실성 모델링 등이 있다. 각 사례에서 credal set을 통해 불확실성을 명시적으로 표현하고, 하한·상한 기대값을 이용해 보수적이면서도 계산적으로 효율적인 의사결정을 수행할 수 있음을 시뮬레이션 결과로 보여준다. 전체적으로 본 논문은 불완전 확률 모델링과 마코프 연쇄 이론을 결합함으로써, 불확실한 시스템의 정량적 분석과 장기 행동 예측에 새로운 이론적·실용적 도구를 제공한다.