폴링 시스템에서 동기식 포기 현상의 분석

초록

본 논문은 스위치오버 시간과 포아송 도착을 갖는 순환 폴링 시스템에 대해, 서버가 각 큐를 방문하거나 떠날 때 고객이 동시에 포기(reneging)하는 새로운 모델을 제안한다. 고객의 포기 확률은 큐와 서버 위치에 따라 달라지며, 이를 ‘스마트 고객’ 개념과 고객 서브타입 도입으로 분석한다. exhaustive와 gated 두 서비스 규칙에 대해 사이클 시간, 대기시간, 큐 길이 분포를 구하고, 안정성 조건을 제시한다. 또한 단일 큐 특수 경우와 수치 예시를 통해 모델의 특성을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존 폴링 이론에 동기식 포기 현상을 도입함으로써, 서버가 큐에 도착하거나 떠날 때 동시에 여러 고객이 시스템을 떠나는 상황을 모델링한다. 포기 확률 p(P)_i는 현재 서버 상태 P(방문 시작·종료, 스위치오버 시작·종료)와 큐 i에 따라 정의되며, q(P)_i=1‑p(P)_i는 남아 있는 확률이다. 이러한 특성 때문에 전통적인 Little’s Law를 그대로 적용할 수 없으며, 저자들은 ‘스마트 고객’ 개념을 차용해 서버 상태에 따라 도착률이 변하는 폴링 모델로 변환한다. 핵심은 고객을 도착 시점에 따라 서브타입으로 구분하고, 각 서브타입이 포기 시점까지 살아남는 확률을 추적함으로써, 실제 서비스받는 고객 집합만을 대상으로 사이클·방문·대기시간의 라플라스‑스테틀스 변환(LST)을 구할 수 있다는 점이다.

분석은 Branching Property(Prop. 2.1)를 이용한다. exhaustive와 gated 서비스 각각에 대해 생성함수 h_i(z)와 서비스 시간 LST θ_i(s)를 정의하고, 이를 통해 방문 시간 V_i와 스위치오버 시간 S_i를 두 단계(a, b)로 분할한다. a‑단계는 포기만 발생하고 시간은 0이며, b‑단계는 실제 서비스가 진행된다. 이렇게 하면 방문·스위치오버 시작 시점의 큐 길이 PGF f_{LB}(·)를 연쇄적으로 관계식(3.1)‑(3.4)로 연결해 전체 사이클의 PGF를 재귀적으로 얻는다.

대기시간 분포는 ‘스마트 고객’ 모델의 일반화된 Little’s Law(분포형) 를 적용해, 포기하지 않고 서비스받는 고객에 한정해 LST를 도출한다. 반면 전체 큐 길이 분포는 포기 고객까지 포함해야 하므로, 서버 상태별 조건부 확률을 이용해 별도 계산이 필요하다. 안정성 조건은 실제 서비스받는 고객만 고려한 유입률과 서비스률의 평균이 1보다 작아야 함을 보여준다.

특수 경우인 N=1(단일 큐, exhaustive)에서는 기존 연구