무작위 분해와 스위칭을 이용한 D‑최적 설계 찾기

본 논문은 ‘Hadamard 최대 행렬식(maxdet) 문제’를 다루며, 특히 n>2이면서 n≡0(mod 4) 가 아닌 차수에 초점을 맞춘다. 이러한 비‑Hadamard 차수에서는 Hadamard 경계 n^{n/2}가 달성 불가능하므로, Barba, Ehlich, Wojtas가 제시한 상한이 실제 최대값이 될 가능성이 있다. 저자는 먼저 목표 행렬식에 대응하는 Gram 행렬 G=RRᵀ(또는 H=RᵀR)를 확보한다. G가 후보라면 G를 {+1,‑1} 행렬 R의 곱으로 분해하는 것이 핵심 과제이다. 전통적인 깊이우선 탐색은 해가 존재하지 않는 서브트리를 오랫동안 탐색하게 되어 비효율적이다. 이를 극복하기 위해 저자는 ‘무작위 분해’ 알고리즘을 제안한다. 탐색 트리의 각 레벨은 R의 한 행에 대응하고, 각 노드에서 평균 자식 수 µ≈1을 목표로 설정한다. 구체적으로, 각 노드에서 한 자식을 무작위로 선택하고, 약 30 % 확률로 두 번째 자식도 선택한다. 이렇게 하면 트리 전체(예: n=27인 경우 4×10⁹ 노드 규모)를 몇 초 안에 탐색해 해를 찾을 수 있다. 실제로 n=27의 Tamura Gram 행렬을 90초 내에 여러 번 분해했으며, n=26에서도 동일한 방법으로 다양한 해를 얻었다. 다만 무작위 탐색은 클래스별 샘플링이 균등하지 않으며, 자동동형군의 크기에 따라 탐색 확률이 가중된다. 해를 하나 찾은 뒤에는 ‘스위칭’ 연산을 적용한다. 스위칭은 네 개의 행(또는 열)로 이루어진 폐쇄 사중형을 찾아 그 블록의 부호를 뒤집는 작업이다. 이 연산은 행렬식 절댓값을 보존하지만 Hadamard 동등성(H‑equivalence)이나 확장된 동등성(HT‑equivalence)을 일반적으로 바꾼다. 따라서 하나의 H‑클래스에서 시작해 스위칭을 반복하면 다수의 서로 다른 H‑클래스, 혹은 HT‑클래스로 확장할 수 있다. 저자는 스위칭을 행·열 모두에 적용하고, 전치 연산을 허용한 ST‑동등 개념을 정의한다. 각 ST‑클래스는 여러 H‑클래스를 포함하며, 이들 사이의 변환 관계를 그래프로 나타낸다. 정점은 H‑클래스, 간선은 단일 스위칭 변환을 의미한다. 구체적인 실험 결과는 다음과 같다. 1. **차수 26**: 최대 행렬식 D(26)=150·6^{11}·2^{25}가 Ehlich‑Wojtas 상한을 정확히 달성한다. 해당 Gram 행렬은 대칭 부호 순열에 대해 유일하며, 블록 형태는 13×13 대각 블록으로 구성된다. 무작위 분해와 스위칭을 통해 9923개의 H‑클래스(5049 HT‑클래스)를 확인했으며, 이는 기존 Orrick의 9884 H‑클래스에 39개의 새로운 클래스를 추가한 것이다. 이들은 25개의 S‑클래스와 18개의 ST‑클래스로 구분된다. 두 종류의 구조, 즉 ‘type (7,1)’(λ=182)와 ‘type (5,5)’(λ=130)로 나뉘며, 각각 큰 ST‑클래스 G(크기 4323)와 E(크기 686)를 포함한다. 자동동형군의 최대 차수는 22464이며, 모든 군 차수는 이 값을 나눈다. 2. **차수 27**: Tamura가 제시한 Gram 행렬을 무작위 분해하면 행렬식 하한 546·6^{11}·2^{26}을 갖는 R을 얻는다. 이 값은 Ehlich 상한의 0.9673배에 불과하고, 현재까지 알려진 최적화 기법으로는 더 큰 값을 찾지 못했다. 따라서 저자는 이 하한이 실제 최대값일 가능성을 강하게 제시한다. 무작위 분해는 deterministic 탐색이 24시간 동안 10⁸ 노드를 탐색해도 깊이 17에 머물렀던 상황을 90초 내에 해결한다. 3. **차수 33**: 비슷한 절차를 적용해 새로운 후보 Gram 행렬을 분해하고, 스위칭을 통해 여러 새로운 HT‑클래스를 생성했다. 구체적인 수치는 논문 본문에 제시되어 있다(요약에서는 상세히 다루지 않음). 전반적으로 무작위 분해는 깊이우선 탐색의 비효율성을 크게 완화하고, 스위칭은 하나의 해로부터 폭넓은 동등 클래스 집합을 생성한다는 점에서 강력한 조합이다. 또한 자동동형군의 크기에 따른 가중치를 고려한 ‘weight’ 개념을 도입해 탐색 난이도를 정량화하였다. 이러한 방법론은 차수 26, 27, 33에서 새로운 D‑optimal 설계와 최대 행렬식에 대한 강력한 근사값을 제공함으로써, 비‑Hadamard 차수에서의 maxdet 문제 연구에 중요한 진전을 이룬다.