부분 관측 그래프 군집화를 위한 볼록 최적화 접근

초록

관측된 일부 엣지만을 이용해 무가중치 그래프를 군집화한다. 저자들은 “불일치” 수(클러스터 내부의 누락된 엣지와 클러스터 간의 존재 엣지)를 최소화하는 문제를 저랭크 행렬과 희소 행렬의 부분 관측 합으로 복원하는 볼록 최적화 모델로 변환한다. 제시된 SDP 기반 알고리즘은 관측 확률, 클러스터 크기, 내부·외부 엣지 밀도 차이 사이의 정확한 성공 조건을 제공하며, 동일한 클러스터 수와 크기를 가정할 때 로그 요인을 제외하고 최적에 가깝다.

상세 분석

이 논문은 부분 관측 그래프에서 클러스터링을 수행하기 위한 새로운 프레임워크를 제시한다. 기존의 완전 관측 그래프에 대한 상관 군집화(correlation clustering)와 달리, 관측되지 않은 노드 쌍을 “?” 로 표시하고, 실제로 관측된 엣지와 비엣지만을 이용해 군집을 정의한다. 핵심 아이디어는 이상적인 클러스터 구조가 블록 대각선 형태의 전부 1 행렬(클러스터 내부는 완전 연결, 클러스터 간은 전혀 연결되지 않음)이라는 점이다. 이 행렬에 단위 행렬 I 를 더하면, 재배열 후 블록 대각선 전부 1 행렬이 되며, 이는 클러스터 수와 동일한 랭크를 가진 저랭크 행렬 K* 로 표현될 수 있다. 실제 그래프는 K* 에 불일치(오류) 행렬 B* 를 더한 형태이며, B* 는 비어 있지 않은 원소가 적은 희소 행렬이다. 따라서 관측된 A+I 를 저랭크 행렬 K와 희소 행렬 B의 합으로 복원하는 문제는 “저랭크 + 희소” 행렬 분해 문제와 동등해진다.

이를 해결하기 위해 저자들은 다음과 같은 볼록 최적화 문제를 제안한다.
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