비율에 대한 신뢰구간의 기하학적 접근 Fieller 정리와 일반화 및 부트스트랩

초록

본 논문에서는 두 확률변수 X와 Y의 평균 비율 E(Y)/E(X) 에 대한 신뢰구간을 구하기 위한 기하학적 방법을 제시한다. 이 방법은 비율에 대한 신뢰구간 구축 문제를 일차원 확률변수의 평균에 대한 신뢰구간 구축 문제로 환원한다. 다양한 상황에서 적용 가능하며, X와 Y가 정규분포를 따르는 경우에 얻어지는 신뢰구간은 기존의 Fieller 신뢰구간과 일치한다. 본 방법의 일반화를 통해 (aX + bY) 와 같은 선형 결합이 적절히 정의되는 한, 매우 일반적인 분포 클래스에 대해 정확하거나 보수적인 신뢰구간을 정의할 수 있다. 마지막으로, 제시된 기하학적 접근은 비대칭·중량 꼬리를 가진 경우 등에서 특히 유리한, 보수적인 비율 신뢰구간을 구성하기 위한 매우 간단한 부트스트랩 절차를 도출한다.

상세 요약

Fieller 정리는 두 정규분포 변수의 평균 비율에 대한 정확한 신뢰구간을 제공하는 고전적인 방법으로, 분모가 0에 가까워지는 경우에도 해석적으로 해를 얻을 수 있다는 장점이 있다. 그러나 Fieller 구간은 정규성 가정에 크게 의존하며, 비정규·중량 꼬리 분포에서는 과도하게 넓어지거나 비현실적인 구간을 산출할 위험이 있다. 본 논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 “기하학적” 시각을 도입한다. 핵심 아이디어는 (X, Y) 공간에서 원점으로부터 비율 θ 에 해당하는 직선을 그린 뒤, 해당 직선과 평균에 대한 1‑차원 신뢰구간을 정의하는 영역이 교차하는 점들을 비율 구간으로 해석한다는 것이다. 즉, 2차원 평균 벡터 μ = (E