정도 수열 실현 개수와 주요화 사이의 연결 고리

초록

본 논문은 그래프, 이분 그래프, 그리고 방향 그래프의 정도 수열에 대해 실현 가능성뿐 아니라 실현 개수와 주요화 관계를 탐구한다. Aigner‑Triesch의 그래프 결과를 확장하여, 수열 S′가 특정 방식으로 S를 주요화하면 S가 더 많은 실현을 갖는다는 일반적 정리를 제시한다. 또한 정점 수 n과 총 간선(또는 호) 수 m이 주어졌을 때, n이 m을 나눌 경우 일정한 정도 수열이 실현 개수를 최대로 만들고, 나누지 못할 경우 ‘최소볼록(min‑convex)’ 혹은 ‘대립 최소볼록(opposed min‑convex)’ 수열이 최적임을 증명한다.

상세 분석

이 논문은 세 가지 전통적인 실현 문제—일반 그래프, 이분 그래프, 그리고 방향 그래프—에 대해 동일한 구조적 원리를 제시한다. 먼저 주요화(majorization)의 정의를 재정립한다. 두 비음수 정수열 S=(d₁,…,dₙ)와 S′=(d′₁,…,d′ₙ) 에 대해, S′가 S를 주요화한다는 것은 정렬된 형태에서 누적합이 모든 k(1≤k≤n) 에 대해 ∑{i=1}^{k} d′{