약한 가산성의 역설: C(K) 는 가산하지만 단위구는 아니다

본 논문은 “C(K)*는 약한* 위에서 가산하지만, 그 닫힌 단위구 B_{C(K)*}는 약한* 위에서 가산하지 않는다”는 현상을 ZFC만으로 구현하는 새로운 예를 제시한다. 서론에서는 K와 C(K)* 사이의 여러 분리 가능성(가산성, 측정 가능성 등)을 나열하고, 기존에 알려진 예들이 CH나 추가 가정에 의존했음을 언급한다. 특히 (a)–(e) 다섯 가지 조건 사이의 함의 관계와 그 역함의 실패 사례들을 정리한다. 2절에서는 구체적인 구성을 제시한다. 먼저 연속체 크기 c 이하의 기수 κ를 잡고, 2^κ 위의 Baire σ-대수 B와 그 곱측도 λ를 정의한다. B는 모든 Baire 집합이 가산 좌표에 의해 결정되므로 |B|=c이다. B의 카르테시안 곱 B^ℕ을 C라 하고, 각 n에 대해 확률측도 μ_n(c)=λ(c(n))을 둔다. 독립적인 집합열 {N_b : b∈B⁺}⊂ℕ을 선택하고, 각 b에 대해 G_b∈C를 G_b(n)=b if n∈N_b, 0 otherwise 로 정의한다. 그 다음, A를 {G_b : b∈B⁺}가 생성하는 Boolean 대수라 하고, K=Ult(A)라 두어 K를 컴팩트 Hausdorff 공간으로 만든다. Lemma 2.2는 A의 관계를 정확히 기술한다: W(s,t)=0 iff s∩t=∅ 또는 ⋂_{b∈s}b=0. Lemma 2.3은 K를 FIP(B) (finite‑intersection property) 를 만족하는 필터들의 집합으로 동형시킨다. Lemma 2.4는 기본 열린 집합이 W(s,t) 형태이며, {F_s : s∈FIP₀(B)}가 K에서 조밀함을 보인다. Theorem 2.1의 핵심은 두 부분으로 나뉜다. 첫째, Rosenhal의 정리를 이용해 L^∞(ν)*가 약한* 비가산임을 보이고, 이를 통해 P(Ult(B))와 P(Ult(B^*))가 약한* 비가산임을 얻는다. Lemma 2.6의 전제(⋆)를 만족하는 A₁=A, A₂=B^*에 적용하면 P(K) 역시 약한* 비가산이므로 B_{C(K)*}도 비가산이다. 둘째, μ_n이 C(K)상의 모든 비제로 함수를 구분함을 보인다. 이를 위해 h∈C(K)\{0\}를 잡고, K의 조밀한 점들을 이용해 적절한 유한 집합 s⊂B⁺와 t⊂B⁺\s를 선택한다. 이후 4단계에 걸쳐 μ_n(h)가 양수임을 증명함으로써 {μ_n}가 C(K) 를 분리한다는 것을 확인한다. 결과적으로 C(K)*는 약한* 가산, 그러나 그 단위구는 비가산이다. 3절에서는 최고노름 ‖·‖의 약한 Baire 측정 가능성을 탐구한다. 먼저 μ_n이 생성하는 σ-대수만으로는 ‖·‖가 측정되지 않음을 Remark 3.1에서 구체적인 함수 f와 비가산 집합 A를 이용해 보여준다. 그 다음, S(K) (clopen 특성함수들의 선형 결합)와 그 부분집합 S′(K) (특히 모든 계수 y_r가 0이 아닌 경우) 를 정의한다. Lemma 3.2는 S(K)의 원소를 J(r)들의 선형 결합 형태로 표현하고, Lemma 3.3은 각 T⊂B⁺와 k∈ℕ에 대해 μ_k^T라는 확률측도를 구성해 J(r)와 W(r,s)에 대한 측정값을 명시한다. Theorem 3.10에서는 S′(K) 위에서 ‖·‖가 Ba(C(K),w)‑측정 가능함을 증명한다. 핵심 아이디어는 S′(K) 내의 각 함수가 유한 개의 J(r)들의 합으로 표현되므로, 앞서 정의한 μ_T들의 조합으로 ‖·‖를 측정할 수 있다는 점이다. 마지막으로, 연속체의 크기 c가 Kunen 기수일 경우, S′(K) 자체가 C(K) 전체에 대해 조밀하고, 따라서 ‖·‖가 전체 C(K)에서 Ba(C(K),w)‑측정 가능함을 기대할 수 있음을 Theorem 3.22에서 언급한다. 결론에서는 이 예가 (e)⇒(c)와 (e)⇒(d) 사이의 비함의를 ZFC 내에서 깨뜨린다는 점을 강조하고, 측정 가능성 문제와 Kunen 기수 가정 사이의 연관성을 제시한다. 또한, 향후 연구 방향으로는 ‖·‖의 완전한 측정 가능성 여부와 다른 Banach 공간에서 유사한 현상이 발생할 수 있는지에 대한 질문을 제시한다.