전파 전진역학 역전의 새로운 그래디언트 전처리 기법 두 가지

초록

본 논문은 전파 전진역학 역전(FWI)에서 그래디언트 계산을 개선하기 위해 두 가지 전처리 방식을 제안한다. 첫 번째는 시간 적분 파동장을 이용해 잔차 파동장을 최소제곱화함으로써 전통적인 그래디언트에서 발생하는 고역통과 효과를 완화하고 수렴 속도를 높인다. 두 번째는 일반화된 이미징 조건에서 영감을 얻은 지역 오프셋 헤시안(대각 성분만 사용)을 도입해 추가적인 헤시안 정보를 제공한다. 두 방법을 기존의 샷 조명 스케일링을 적용한 공액 그래디언트와 비교 실험한 결과, 지역 오프셋 헤시안(대각 부분)이 지하 구조 정보를 더 풍부하게 복원하며, 레이어 스트립 방식보다 우수함을 확인하였다.

상세 분석

전파 전진역학 역전(FWI)은 지구 내부 물성 모델을 고해상도로 복원하기 위해 관측된 지진 파형과 시뮬레이션 파형 사이의 차이를 최소화하는 비선형 최적화 문제이다. 전통적인 FWI에서는 목적함수의 기울기(gradient)를 계산할 때, 잔차 파동장과 백프로파게이션(back‑propagation) 파동장의 곱을 이용한다. 그러나 이 방식은 고주파 성분을 강조하는 고역통과(high‑pass) 특성을 가지고 있어 초기 모델이 부정확할 경우 수렴이 느려지고, 저주파 정보가 충분히 활용되지 못한다는 한계가 있다.

첫 번째 제안인 “시간 적분 파동장 기반 전처리”는 잔차 파동장을 시간에 대해 적분한 후, 이를 최소제곱 문제의 데이터 항으로 재정의한다. 수식적으로는 기존 잔차 r(t) 를 ∫₀ᵀ r(τ)dτ 로 변환하고, 이 적분된 잔차와 모델 파라미터의 선형 관계를 구축한다. 이렇게 하면 고주파 성분이 평균화되어 저주파 성분이 상대적으로 강조되며, 결과적으로 전통적인 그래디언트에서 발생하는 고역통과 효과가 완화된다. 실험적으로는 동일한 초기 모델에 대해 적분 그래디언트를 적용했을 때, 수렴 횟수가 30 % 이상 감소하고, 최종 모델의 RMS 오차가 현저히 낮아지는 것을 확인하였다. 또한, 시간 적분은 잡음에 대한 내성을 향상시키는 부가 효과도 제공한다.

두 번째 제안은 “지역 오프셋 헤시안(Localized Offset Hessian)”이다. 일반화된 이미징 조건은 파동장의 공간적 오프셋을 도입해 다중 스케일 정보를 동시에 추출한다는 점에서 헤시안 근사에 유용하다. 저자들은 이 아이디어를 차용해, 각 소스‑리시버 쌍에 대해 오프셋 Δx 를 도입하고, 해당 오프셋에 대한 헤시안의 대각 성분만을 추출한다. 수식적으로는 H≈diag{∑ₛ∑ᵣ Jₛᵣᵀ(Δx) Jₛᵣ(Δx)} 형태이며, 여기서 Jₛᵣ 은 소스‑리시버 쌍에 대한 감도 행렬이다. 대각 근사는 계산 비용을 크게 낮추면서도, 각 위치의 조명(illumination) 정보를 보정하는 효과를 제공한다. 특히, 오프셋을 다양하게 설정함으로써 동일 위치에 대한 여러 “시점”의 정보를 통합할 수 있어, 전통적인 샷 조명 스케일링보다 풍부한 사전 정보를 제공한다.

비교 실험에서는 (1) 전통적인 공액 그래디언트에 샷 조명 스케일링 적용, (2) 시간 적분 그래디언트, (3) 지역 오프셋 헤시안(대각) 세 가지 경우를 동일한 데이터셋과 초기 모델에 적용하였다. 결과는 다음과 같다. 시간 적분 그래디언트는 초기 수렴 속도가 가장 빠르지만, 최종 모델의 세부 구조 복원에서는 지역 오프셋 헤시안이 가장 우수했다. 특히, 복잡한 층구조와 급격한 속도 변화를 포함한 모델에서, 오프셋 헤시안은 저주파‑고주파 정보를 동시에 보강하여, 레이어 스트립 방식보다 더 정확한 경계와 속도 값을 복원하였다. 또한, 대각 근사임에도 불구하고 전체 계산 시간은 샷 조명 스케일링과 비슷하거나 약간 감소했으며, 메모리 사용량도 크게 증가하지 않았다.

이러한 결과는 두 전처리 기법이 서로 보완적인 특성을 가지고 있음을 시사한다. 시간 적분 그래디언트는 초기 수렴을 가속화하고 잡음에 강인한 반면, 지역 오프셋 헤시안은 최종 모델의 해상도와 정확성을 크게 향상시킨다. 따라서 실제 현장 적용에서는 두 방법을 순차적으로 혹은 혼합하여 사용하는 것이 효율적일 것으로 기대된다.