K5에서 P3를 뺀 그래프와 K5의 라몬 수 25

초록

본 논문은 컴퓨터 보조 증명을 통해 그래프 K5‑P3와 완전 그래프 K5 사이의 라몬 수가 정확히 25임을 확인한다. 23·24 정점에서는 K4를 포함하는 (K5‑P3, K5)-좋은 그래프가 존재하지 않으며, 22 정점에서는 유일한 K4 포함 그래프가 존재함을 제시한다.

상세 분석

이 연구는 라몬 수 R(G,H) 를 정의하고, 특히 G=K5‑P3(정점 5개의 완전 그래프에서 3개의 연속된 변을 제거한 형태)와 H=K5 사이의 값을 구한다. 기존 문헌에서는 R(K5‑P3, K5) ≤ 28 이었고, R(K4, K5)=25 로부터 하한 25가 도출되었다. 저자들은 먼저 R(K4‑P3, K5)와 R(K5‑P3, K4)의 전체 그래프 집합을 열거하였다. 전자는 1 092개, 후자는 3 454 499개의 비동형 그래프가 존재함을 확인했고, 이는 앞선 연구와 일치한다.

핵심 아이디어는 25 정점의 (K5‑P3, K5)-좋은 그래프는 반드시 K4를 포함한다는 점이다. K4 내에서 최소 차수를 가진 정점을 x라 두고, 그 주변집합 F⁺ₓ와 반대집합 F⁻ₓ를 정의한다. 여기서 F⁺ₓ는 (K4‑P3, K5)-좋은 그래프, F⁻ₓ는 (K5‑P3, K4)-좋은 그래프가 된다. Lemma 1에 의해 K4의 네 정점 차수 합은 n+8 이하이며, 이를 통해 |V(F⁺ₓ)|와 |V(F⁻ₓ)|의 가능한 범위를 표 IIⅠ에 정리한다.

다음 단계에서는 “콘”이라 부르는, F⁻ₓ의 정점들을 F⁺ₓ의 각 정점에 연결하는 방식에 제약을 부여한다. 네 가지 제약조건(C1‑C4)은 K5‑P3 혹은 독립집합 K5가 생성되는 경우를 방지한다. 이러한 제약을 만족하는 콘 배열을 탐색함으로써, n=25,24,23,22에 대한 가능한 그래프 구성을 전산적으로 검증한다.

전산 결과는 다음과 같다. n=25,24,23에서는 콘 배열을 만족시키는 경우가 전혀 없으며, 따라서 K4를 포함하는 (K5‑P3, K5)-좋은 그래프는 존재하지 않는다. n=22에서는 정확히 하나의 배열이 존재하고, 이는 Figure 2에 제시된 인접 행렬로 구체화된다. 이 그래프는 정점 1‑4가 K4를 이루고, 정점 5‑8이 C4(사이클 4)를, 나머지 9‑22가 F⁻ₓ에 해당한다.

또한 저자들은 이 결과를 기존의 Burr‑Erdős‑Faudree‑Schelp 정리와 연결시켜, 작은 완전 그래프의 확장이 라몬 수에 영향을 주지 않는 경우를 추가로 제시한다. 특히 bK₄,₂와 bK₅,₂(정점 하나를 기존 완전 그래프에 연결한 형태) 사이의 라몬 수도 25임을 증명한다.

이 논문의 의의는 두 가지 측면에서 강조된다. 첫째, 전산적 방법과 조합론적 논리를 결합해 기존에 미해결이던 라몬 수를 정확히 구했다는 점이다. 둘째, K4를 포함하는 (K5‑P3, K5)-좋은 그래프의 구조적 특성을 상세히 분석함으로써, 라몬 수 연구에서 “큰 그래프를 피하는 것이 작은 그래프를 피하는 것보다 강력하지 않을 수 있다”는 통찰을 제공한다. 이러한 접근법은 향후 다른 그래프 쌍에 대한 라몬 수 탐구에도 적용 가능할 것으로 기대된다.