리만 가설과 그 일반화에 대한 새로운 접근

초록

본 논문은 리만 제타 함수의 무한 하다드라드 곱표현을 이용해 리만 가설을 증명하고, 이를 디리클레 L‑함수와 일반화된 리만 가설(GRH)까지 확장하려는 시도를 제시한다. 그러나 증명 과정에서 함수의 실값성 주장, 영점의 대칭성 이용, 그리고 복소수 변수의 분해에 대한 논리적 오류가 존재한다는 점에서 현재 수학계가 받아들일 수 있는 수준의 엄밀성을 결여하고 있다.

상세 분석

논문은 먼저 ζ(s)의 대칭형 함수 Φ(s)=Γ(s/2)π^{-s/2}ζ(s) 를 정의하고, Φ(½+it) 가 실값을 가진다고 주장한다. 여기서 사용된 “Property 1”은 “복소수 전체에 대해 실값을 갖는 함수는 자기 자신의 복소켤레와 동일하다”는 식으로 잘못 기술되었으며, 실제로는 f(z)=\overline{f(\bar z)} 가 성립해야 한다. 논문은 이를 Laurent 전개로 증명한다고 했지만, 전개 계수 a_n이 실수라는 가정은 함수가 실축에서 실값을 가진다는 전제 없이 바로 도출할 수 없으며, 이는 증명의 첫 번째 허점이다.

다음으로 하다드라드 곱식 (6) 을 이용해 2F(t)=−B(t)/(¼+t²) 라는 관계를 얻는다. 여기서 B(t)=∏_ρ(1−½+it)/(ρ) 로 정의했는데, ρ는 ζ(s)의 모든 영점이며, 복소공액 영점 쌍을 이용해 B(t)∈ℝ 임을 주장한다. 실제로는 영점이 대칭축을 기준으로 쌍을 이루더라도 곱 전체가 실수가 되려면 각 영점 쌍이 정확히 복소공액이어야 하는데, 논문은 “비리만 영점은 네 개씩 묶인다”는 가정을 도입한다. 이때 ρ₁=σ+iτ, ρ₂=1−σ−iτ, ρ₃=σ−iτ, ρ₄=1−σ+iτ 로 묶는 것이 일반적인 대칭성(ζ(s)=ζ(1−s))과는 일치하지 않는다. 실제 ζ(s)의 영점은 대칭축 Re(s)=½에 대해 복소공액 대칭만을 만족하므로, 제시된 네 개 묶음은 존재하지 않는다.

또한 (9)‑(11) 에서 atan 함수와 다항식의 부호를 이용해 “φ(t)=0” 이 되어야 한다고 결론짓는다. 여기서는 분모 D(σ,τ) 가 0이 아니라고 가정하고, 특정 t₀ 를 선택해 식이 모순된다고 주장한다. 그러나 D(σ,τ) 가 실제로는 σ와 τ에 따라 0이 되는 점이 존재함을 무시하고 있으며, 복소수 영점들의 배치에 따라 atan 의 부호가 바뀔 수 있음을 간과한다. 결국 “φ(t)는 정수값만을 가질 수 있다”는 논리는 연속성에 대한 잘못된 적용이며, 정수값 함수가 연속이라면 상수함수일 뿐이라는 사실을 이용했지만, φ(t) 가 실제로 연속인지도 증명되지 않았다.

GRH 부분에서는 디리클레 L‑함수의 하다드라드 곱을 차용해 Λ(s,χ) 를 실값 함수로 만든 뒤, 실값성으로부터 영점이 Re(s)=½ 에 있음을 추론한다. 그러나 L‑함수의 영점 구조는 ζ(s)와 달리 비주요 문자에 대해 복소공액 대칭만을 갖고, 실축 대칭은 존재하지 않는다. 따라서 Λ(½+it,χ) 를 실값이라고 단정하는 단계 자체가 근거가 부족하다. 또한 (15)‑(16) 식에서 전개 상수 A, B 를 정의하고 로그미분을 취한 뒤 “B = -½ Σ … = -T” 라는 식을 얻는 과정에서도 수렴성 문제와 상수의 정확한 값이 명시되지 않아 논리적 비약이 있다.

마지막으로 ERH와 Epstein zeta 함수에 대한 논의는 흥미롭지만, “Euler 곱을 갖는 함수만이 RH를 만족한다”는 주장 역시 증명되지 않은 가정이다. 전체적으로 논문은 중요한 아이디어(함수의 대칭성과 하다드라드 곱 활용)를 제시했지만, 각 단계에서 필요한 정밀한 복소해석적 근거와 수렴성 검증이 빠져 있어 현재의 수학적 기준으로는 증명으로 인정될 수 없다.