S‑퍼뮤테이션 행렬의 서로소 쌍 개수 공식화

초록

본 논문은 n²×n² 크기의 S‑퍼뮤테이션 행렬 두 개가 서로소(disjoint)인 경우의 총 개수를 구하는 일반식을 제시한다. 이를 위해 행과 열을 각각 n개의 집합으로 나눈 이분 그래프를 도입하고, 해당 그래프들의 구조적 특성을 이용해 조합적 계산을 수행한다. 결과적으로 모든 n에 대해 적용 가능한 폐쇄형 공식이 도출되며, 이는 Sudoku 행렬 생성 알고리즘의 이론적 기반을 강화한다.

상세 분석

S‑퍼뮤테이션 행렬은 n²×n² 크기의 0‑1 행렬로, 각 n×n 블록, 각 행, 각 열에 정확히 하나의 1이 존재하도록 구성된다. 두 행렬 A와 B가 서로소라는 것은 동일한 위치에 1이 겹치지 않음을 의미한다. 기존 연구에서는 n=2,3에 대해 사례별 계산이 이루어졌으나, 일반 n에 대한 공식은 제시되지 않았다. 저자는 이 문제를 이분 그래프 g = ⟨R_g ∪ C_g, E_g⟩ 로 변환한다. 여기서 R_g와 C_g는 각각 행 블록과 열 블록을 나타내는 n개의 정점 집합이며, 한 행 블록과 한 열 블록 사이에 존재하는 간선은 해당 블록 교차 영역에 1이 배치될 수 있음을 의미한다. 두 S‑퍼뮤테이션 행렬이 서로소이면, 두 그래프의 간선 집합이 서로 겹치지 않아야 한다. 따라서 전체 가능한 그래프들의 집합 G_n을 고려하고, 각 그래프 g∈G_n에 대해 가능한 1‑배치의 수를 계산한다. 핵심은 각 그래프의 연결 성분 구조와 그에 따른 매칭 수를 파악하는데, 이는 이론적 그래프 매칭 정리와 행렬 영점(rook polynomial) 기법을 결합해 해결한다. 저자는 먼저 모든 이분 그래프의 등가 클래스(동형) 개수를 구하고, 각 클래스별로 발생 가능한 매칭 수를 구한 뒤, 파이보니아 정리를 이용해 전체 경우의 수를 합산한다. 이 과정에서 등장하는 주요 수식은
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