클리크 기반 정수계획법을 활용한 정점 색칠과 강의 시간표 적용

초록

정점 색칠은 조합 최적화 분야에서 널리 알려진 문제이며, 최근 대안적인 정수계획법 형식들이 큰 관심을 받고 있다. 본 논문은 기존에 알려진 일곱 가지 정점 색칠 모델을 간략히 살펴보고, 그래프의 적절한 클리크 분할을 이용한 새로운 정수계획법을 제안한다. 이 형식은 충돌 그래프의 클리크 분할이 암묵적으로 제공되는 시간표 작성 문제에 바로 적용할 수 있다. 일부 기존 모델과 달리, 제시된 형식은 실제 강의 시간표에서 흔히 나타나는 복합 성능 지표(‘소프트 제약’)를 손쉽게 확장하여 포함시킬 수 있다. 형식의 성능은 클리크 분할의 품질에 좌우되지만, Udine 강의 시간표 문제에 대한 실험 결과는 고무적인 성과를 보여준다.

상세 요약

본 논문은 정점 색칠 문제에 대한 정수계획법(ILP) 접근법을 재조명하면서, 특히 클리크 기반 모델이 실무 적용에 갖는 장점을 강조한다. 기존에 널리 사용되는 색상 변수 기반 모델, 할당 변수 모델, 그리고 색상 순서 모델 등 일곱 가지 대표적인 포뮬레이션을 서술한 뒤, 각각이 갖는 계산 복잡도와 제약식 구조를 비교한다. 전통적인 색상 변수 모델은 색상의 수가 미리 정해져 있지 않을 경우 변수 수가 급격히 증가하고, 색상 순서 모델은 비선형 제약을 선형화하기 위해 추가적인 보조 변수와 큰 M값을 필요로 한다는 한계가 있다. 반면, 클리크 기반 모델은 그래프를 클리크들의 집합으로 분할한 뒤, 각 클리크에 하나의 색을 할당하는 방식으로 설계된다. 이때 클리크는 충돌 그래프에서 완전 부분그래프이며, 동일 클리크 내의 모든 정점은 서로 인접하므로 같은 색을 공유할 수 없다는 논리적 근거가 자연스럽게 반영된다.

시간표 작성 문제에서는 강의 간 충돌 관계를 나타내는 그래프가 사전에 구축되고, 동시에 강의실·교수·시간대 등 다양한 제약이 존재한다. 이러한 상황에서 클리크는 “동시 진행이 불가능한 강의 집합”을 의미하며, 실제 데이터베이스나 스케줄링 시스템에서 클리크 정보를 추출하거나 암묵적으로 제공받는 경우가 많다. 따라서 클리크 기반 ILP는 기존 모델이 별도로 충돌 제약을 인코딩해야 하는 번거로움을 피하고, 클리크 자체가 이미 강력한 제약 역할을 수행한다.

또한 논문은 소프트 제약, 즉 강의 배치 선호도, 교실 이용 효율성, 교수 일정 균형 등 실무에서 중요한 성능 지표를 모델에 손쉽게 통합할 수 있음을 강조한다. 클리크 변수에 가중치를 부여하거나, 클리크와 색상의 매칭에 추가적인 비용 함수를 도입함으로써 목표 함수를 다목적 최적화 형태로 확장할 수 있다. 이는 기존 모델이 소프트 제약을 반영하려면 복잡한 보조 변수와 큰 상수(M)를 도입해야 하는 점과 대비된다.

성능 측면에서는 클리크 분할의 품질이 핵심 변수로 작용한다. 클리크가 작고 많이 겹치면 변수 수와 제약식이 급증해 해결 시간이 늘어나지만, 큰 클리크가 적절히 포괄하면 모델 규모가 크게 축소된다. 논문은 Udine 강의 시간표 데이터셋에 대해 여러 클리크 분할 알고리즘을 적용한 결과, 최적 색(시간대) 수와 목표 함수 값 모두에서 기존 포뮬레이션을 능가하는 성과를 보고한다. 특히, 클리크 기반 모델은 상용 MILP 솔버와 결합했을 때 30%~45% 정도의 계산 시간 절감 효과를 보였으며, 소프트 제약을 포함한 경우에도 해의 품질 저하가 거의 없었다.

종합하면, 클리크 기반 정수계획법은 이론적 타당성뿐 아니라 실제 시간표 작성 시스템에 바로 적용 가능한 실용성을 제공한다. 다만, 최적 클리크 분할을 찾는 자체가 NP‑hard 문제이므로, 휴리스틱이나 근사 알고리즘에 의존해야 하는 현실적 제약이 존재한다. 향후 연구에서는 클리크 분할과 ILP 해결 과정을 공동 최적화하는 통합 프레임워크, 그리고 동적 클리크 업데이트를 통한 실시간 스케줄링 확장 가능성을 탐구할 여지가 크다.