무작위 기하학적 관개 그래프의 거의 최적 희소화와 폭발적 퍼콜레이션

초록

본 논문은 단위 정사각형에 균등하게 배치된 n개의 점을 정점으로 하는 무작위 기하학적 그래프 Gₙ(rₙ)에서, 각 정점이 반경 rₙ 이내에 있는 이웃 중 ξᵢ(1≤ξᵢ≤κ)개의 이웃을 무작위로 선택하도록 하여 얻는 관개 그래프 Γₙ(rₙ,ξ)의 연결 특성을 연구한다. rₙ = γₙ√(log n/n) (γₙ→∞, γₙ=o(n^{1/6}/log^{5/6}n)) 일 때, 평균 선택 수 E

상세 분석

논문은 먼저 기존의 무작위 기하학적 그래프 Gₙ(rₙ)의 연결 임계값 r*ₙ≈√(log n/(πn))을 상기하고, rₙ을 이보다 약간 크게 잡아 Gₙ(rₙ) 자체는 거의 확실히 연결됨을 이용한다. 관개 그래프 Γₙ(rₙ,ξ)는 각 정점이 반경 rₙ 안에 있는 이웃 중 ξᵢ개의 이웃을 무작위(중복 없이) 선택하도록 정의되며, ξᵢ는 1≤ξᵢ≤κ(κ>1)인 정수형 독립 변수이다. 핵심은 ξᵢ의 평균값 μ=E