온라인 기계 최소화 알고리즘의 최적 경쟁비 e

초록

본 논문은 작업 길이가 동일한 온라인 기계 최소화 문제에 대해 결정적 알고리즘이 경쟁비 e를 달성함을 보이며, 이 비가 최적임을 증명한다. 또한 마감시간이 동일한 경우 상수 경쟁비 알고리즘을 제시하고, 고정된 기계 수에서 가중치가 부여된 작업의 처리량 최대화 문제에 대해 기계 수에 무관한 경쟁비 e/(e‑1)의 무작위화 알고리즘을 제공한다.

상세 분석

이 연구는 온라인 환경에서 동일 길이(unit‑length) 작업들을 최소한의 동일 기계에 배정하는 문제를 다룬다. 기존 연구는 상한 5.2와 하한 2.09 사이에 머물렀으나, 저자들은 경쟁비 e가 가능한 최적값임을 완전히 규명한다. 핵심 아이디어는 “e‑EDF” 알고리즘으로, 시점 t 에서 현재까지 공개된 작업 집합 J(t) 에 대해 오프라인 최적 기계 수 Offline(t) 을 계산하고, ⌈e·Offline(t)⌉ 대의 기계를 즉시 가동한다. 작업 스케줄링은 가장 이른 마감시간 순서(Earliest Deadline First, EDF)를 사용한다.

알고리즘의 타당성을 보이기 위해 저자들은 두 가지 조건을 만족하는 분수 스케줄을 구성한다. 첫 번째는 “분수 완성(Fractional Completion)”으로, 마감시간 d 이하의 모든 작업이 해당 구간 안에서 총량 1 을 할당받아 완료되는 것을 의미한다. 두 번째는 “분수 포장(Fractional Packing)”으로, 어느 시점 t 에서도 사용되는 기계 수가 ⌈e·Offline(t)⌉ 을 초과하지 않음을 보인다. 이를 위해 각 작업 j 에 대해 f_j(x)=1/(d−x) 형태의 함수(단, x∈