정확한 양자 자동자가 약속 문제에서 고전 자동자를 능가한다

본 논문은 양자 유한 자동기(QFA)의 정확성 모델을 이용해 고전 결정적 유한 자동기(Deterministic Finite Automaton, DFA)와의 상태 복잡도 차이를 명확히 드러낸다. 연구는 먼저 약속 문제(promise problem)의 개념을 소개한다. 약속 문제는 두 개의 불교집합 언어 A_yes와 A_no 로 구성되며, 알고리즘은 A_yes에 속하는 입력은 반드시 수용하고 A_no에 속하는 입력은 반드시 거부해야 한다. 일반적인 언어 인식 문제와 달리 입력이 A_yes∪A_no 에 속한다는 전제가 있다. 논문은 구체적인 무한 약속 문제 가족 A_k 를 정의한다. 여기서 k는 양의 정수이며, N=2^k 로 두고, A_k^yes = { a^{i·N} | i는 짝수 정수 } , A_k^no = { a^{i·N} | i는 홀수 정수 } 로 설정한다. 즉, 입력 문자열은 ‘a’만으로 이루어진 단일 알파벳 언어이며, 길이가 N의 짝수 배이면 수용, 홀수 배이면 거부하도록 약속한다. 양자 측면에서는 Moore‑Crutchfield 실시간 양자 유한 자동기(MCQFA)를 사용한다. MCQFA는 5‑튜플 (Q, Σ, {U_σ}, q₁, Q_a) 로 정의되며, 여기서 Q는 상태 집합, Σ는 입력 알파벳, U_σ는 각 심볼에 대한 유니터리 연산, q₁은 초기 상태, Q_a는 수용 상태 집합이다. 논문은 Q={q₁,q₂} 로 두 상태만을 갖는 MCQFA M_k 를 설계한다. ‘a’에 대한 전이 연산 U_a 는 2차원 복소 평면에서 각도 θ=π/(2N) 만큼 회전시키는 행렬이며, 시작 기호 ‘¢’와 종료 기호 ‘$’에 대해서는 항등 연산을 적용한다. 입력 문자열을 차례대로 읽으며 상태 벡터는 매 N개의 ‘a’마다 q₁↔q₂ 사이를 교대로 전이한다. 따라서 입력 길이가 N·(짝수)인 경우 최종 상태는 q₁(수용 상태)이고, N·(홀수)인 경우 최종 상태는 q₂(비수용 상태)이다. 이 과정을 정확히 재현함으로써 M_k 는 A_k 를 오류 없이 구분한다. 고전 자동기 측면에서는 DFA가 같은 약속 문제를 정확히 해결하려면 최소 2^k+1 개의 상태가 필요함을 증명한다. 증명은 DFA가 t개의 상태를 순환적으로 사용한다고 가정하고, 입력 길이가 충분히 길 때 DFA가 상태 s_i 에서 s_{(i+1) mod t} 로 전이한다는 주기성을 이용한다. 여기서 N=2^k 를 고려하면, DFA가 N·(짝수)와 N·(홀수)를 구분하려면 주기 길이 t 가 최소 2N 이어야 함을 보인다. 따라서 최소 상태 수는 t+1 ≥ 2N+1 = 2^k+1 이 된다. 논문은 또한 N이 2^k·(2ℓ+1) 형태일 때도 동일한 논리를 적용해 최소 상태 수가 2^k+1 로 유지된다는 일반화된 결과를 제시한다. 결론에서는 양자 자동기가 두 상태만으로 무한 가족의 약속 문제를 정확히 해결할 수 있는 반면, 고전 자동기는 상태 수가 지수적으로 증가해야 함을 강조한다. 이는 양자 계산이 ‘정확성’ 모델에서도 고전 대비 압도적인 우수성을 가질 수 있음을 보여주는 중요한 사례이며, 약속 문제라는 제한된 입력 집합에서 양자와 고전 모델 간의 복잡도 차이를 정량화하는 새로운 방향을 제시한다. 또한, n이 정확히 2의 거듭제곱이 아닌 경우에도 양자 자동기는 동일한 두 상태 설계로 문제를 해결할 수 있음을 언급하며, 고전 자동기의 경우 가장 큰 소인수에 따라 상태 수가 결정된다는 점을 부각한다.