이중리그 경기 일정 최적화로 여행 거리 절감

초록

본 논문은 두 리그가 맞붙는 ‘이중리그 토너먼트’를 대상으로, 팀들의 총 이동 거리를 최소화하는 스케줄링 문제인 Bipartite Traveling Tournament Problem(BTTP)를 정의한다. 2n팀 경우 BTTP가 NP‑complete임을 증명하고, n이 작을 때는 최소 가중치 4‑사이클 커버를 이용한 정확 알고리즘을 제시한다. 일본 프로야구(NPB) 12팀 사례에서는 최적 스케줄이 실제 대비 16 % 이동 거리를 절감했으며, NBA 30팀에 대해서는 이론적 하한에 3.8 % 근접한 근사 스케줄을 생성한다.

상세 분석

BTTP는 기존의 Traveling Tournament Problem(TTP)에서 ‘양쪽 리그가 서로 교차 경기만을 진행한다’는 제약을 추가한 변형이다. 논문은 먼저 BTTP를 정식으로 정의하고, 각 팀이 상대 리그의 모든 팀과 정확히 한 번씩 홈·어웨이 경기를 치르는 2n‑팀 완전 이분 그래프 모델을 제시한다. 이때 목표는 모든 팀이 이동해야 하는 거리의 합을 최소화하는 것이다.

NP‑completeness 증명에서는 알려진 NP‑hard 문제인 Hamiltonian Cycle Problem을 정점 복제와 거리 가중치 조정을 통해 BTTP 인스턴스로 변환한다. 변환 과정에서 각 팀을 그래프의 정점에 대응시키고, 거리 행렬을 인위적으로 설계해 ‘특정 순서대로 경기장을 방문해야만 전체 거리 최소화가 가능하도록’ 만든다. 이를 통해 BTTP가 다항식 시간에 해결될 수 없음을 보인다.

작은 n에 대해서는 정확 해를 구할 수 있는 알고리즘을 제안한다. 핵심 아이디어는 ‘최소 가중치 4‑사이클 커버’를 찾는 것이다. 4‑사이클은 두 팀이 서로 홈·어웨이 경기를 교차로 진행하는 네 경기 묶음이며, 이러한 사이클들의 가중치 합이 전체 이동 거리와 직접적으로 연결된다. 논문은 기존의 최소 사이클 커버 문제를 변형해, 각 사이클이 반드시 교차 경기 형태를 만족하도록 제약을 추가하고, 이를 이분 매칭과 비용 흐름 모델로 변환한다. 이렇게 얻어진 최적 4‑사이클 커버는 바로 전체 스케줄의 최적 해가 된다.

실제 데이터 적용에서는 일본 NPB(12팀)와 미국 NBA(30팀)를 대상으로 실험을 수행한다. NPB의 경우 거리 행렬을 실제 구간 거리(킬로미터)로 채워 넣고, 제안 알고리즘을 적용해 42950 km의 총 이동 거리를 얻었다. 이는 2010년 실제 시즌에서 기록된 51100 km 대비 약 16 % 절감된 수치이며, 최적성 증명도 함께 제공한다. NBA는 팀 수가 많아 정확 해를 구하기는 어려우므로, 휴리스틱으로 4‑사이클 커버를 근사적으로 구성하고, 추가적인 로컬 탐색을 통해 이론적 하한(≈ 전체 최소 거리) 대비 3.8 % 정도의 오차만을 보이는 스케줄을 생성했다.

이 연구는 스포츠 리그 스케줄링에서 환경 비용과 운영 비용을 동시에 감소시킬 수 있는 실용적 방법을 제시한다는 점에서 의의가 크다. 또한 BTBT(이중리그 TTP)의 복잡도 분석과 최소 사이클 커버 기반 알고리즘은 다른 분야—예를 들어 물류 네트워크 설계나 교통 흐름 최적화—에도 적용 가능성을 시사한다. 다만, 팀 수가 크게 늘어날 경우 현재 제안된 알고리즘의 계산량이 급증하므로, 대규모 리그에 대한 보다 효율적인 근사 기법이나 메타휴리스틱 개발이 향후 연구 과제로 남는다.