메트릭 1‑중앙점 선택의 결정적 하한: 4배 근사 불가

초록

이 논문은 n점 메트릭 공간에서 평균 거리를 최소화하는 1‑중앙점을 찾는 문제에 대해, 어떠한 결정적 알고리즘도 o(n²)개의 거리 질의만으로 (4‑ε) 근사 비율을 보장할 수 없음을 증명한다. 적대적 메트릭 구성과 정밀한 그래프 분석을 통해 하한을 확립한다.

상세 분석

본 연구는 메트릭 1‑중앙점 문제를 “오라클 모델”에서 탐구한다. 알고리즘은 두 점 (x, y)에 대한 거리 d(x, y)를 질의할 수 있지만, 자기 자신에 대한 질의와 중복 질의는 금지된다. 저자는 임의의 결정적 o(n²) 질의 알고리즘 A를 가정하고, A가 수행되는 동안 적대적 응답자를 설계한다. 먼저 크기 ⌈δn⌉(δ∈(0,0.1))인 집합 S를 선택하고, 질의 과정에서 각 점의 현재 차수 α_i(x)를 추적한다. 질의 (x_i, y_i)에 대해, 두 점이 S에 속하거나 차수가 δn 이하인지 초과인지에 따라 거리 값을 1,2,3,4 중 하나로 “동결”한다. 이렇게 하면 전체 거리 행렬 d는 1~4의 정수값만을 갖고, 삼각 부등식이 만족하도록 보장된다(레마 14).

구성된 메트릭에서 알고리즘 A가 출력하는 점 p는 질의 과정에서 차수가 n‑1에 도달한 점이므로, 거의 모든 다른 점과 거리가 4가 된다(레마 17). 반면, S 안에서 차수가 가장 작은 점 \hat p는 대부분의 점과 거리가 1이며, 전체 평균 거리는 약 n에 비례한다(레마 19). 따라서
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