그래프 파라미터를 증가시키는 연산과 부분 순서

본 논문은 동일한 정점 수 \(n\) 과 간선 수 \(m\) 을 갖는 그래프들의 집합 \(G_{m,n}\) 위에 정의된 여러 부분 순서와, 그 순서에 대해 단조성을 유지하는 그래프 연산들을 포괄적으로 조사한다. 서론에서는 네트워크 신뢰도 문제를 동기화한다. 각 간선이 존재할 확률 \(p\) 를 갖는 무작위 그래프 \((G,p)\) 의 연결 확률을 \(R(p,G)\) 라 정의하고, 주어진 \(m,n\) 에 대해 \(R(p,G)\) 가 최대가 되는 그래프(‘최대 신뢰도 그래프’)와 최소가 되는 그래프(‘최소 신뢰도 그래프’)를 찾는 최적화 문제를 제시한다. 이 문제는 \(p\) 값에 따라 최적 그래프가 달라질 수 있음을 보이며, 특히 \(p\) 가 0에 가까울 때는 스패닝 트리 수 \(t(G)\) 와 동등한 문제로 전환된다. 2장에서는 기본 용어와 기호를 정리한다. 정점 집합 \(V(G)\), 간선 집합 \(E(G)\), 차수 \(d(x,G)\) 등을 정의하고, 그래프의 연결 성분 수 \(\operatorname{cmp}(G)\), 랭크 \(r(G)=v(G)-\operatorname{cmp}(G)\), 사이클 수 \(r^*(G)=e(G)-v(G)+\operatorname{cmp}(G)\) 등을 소개한다. 또한 완전 그래프 \(K_n\) 와 그 보완 \(