원형 호 그래프의 온라인 색칠, First Fit으로 9배 클리크 한계 달성

초록

Raman(2007)의 열구조 증명을 원형 호 그래프에 직접 적용할 수 없으므로, 본 논문은 새로운 증명 방식을 제시한다. First Fit 알고리즘을 사용했을 때 원형 호 그래프 G의 색칠에 필요한 색상의 최악 경우 상한을 9·w(G) 로 잡는다. 여기서 w(G)는 G의 최대 클리크 크기이다.

상세 분석

First Fit은 순차적으로 들어오는 정점에 대해 현재까지 사용된 색 중 가장 작은 번호를 할당하는 가장 단순한 온라인 색칠 알고리즘이다. 인터벌 그래프에 대해서는 Raman이 제시한 ‘열(column) 구조’ 기법을 통해, 어떤 입력 순서에서도 First Fit이 사용해야 하는 색의 수를 최대 클리크 크기 w(G)의 8배 이하로 제한할 수 있음을 증명하였다. 그러나 원형 호 그래프는 인터벌 그래프의 일반화 형태로, 원을 한 점에서 절단하여 선형 구간으로 변환하는 과정에서 호가 절단점을 가로지르는 경우가 발생한다. 이러한 ‘교차 호’는 열 구조를 그대로 옮겨 적용할 수 없게 만든다.

본 논문은 이 문제를 해결하기 위해 두 단계의 색칠 전략을 도입한다. 첫 번째 단계에서는 원을 임의의 점 p에서 절단했을 때 p를 포함하지 않는 호들만을 고려한다. 이 부분은 절단 후 선형 구간 집합이 되므로 Raman의 열 구조를 그대로 적용할 수 있어, 사용 색 수는 8·w(G) 이하가 보장된다. 두 번째 단계에서는 p를 가로지르는 호들을 처리한다. 이때 각 교차 호를 두 개의 ‘반호’로 분할해 선형 구간으로 변환하고, 이미 사용된 색을 재활용하면서도 새로운 색을 최소화한다. 핵심은 교차 호들의 최대 겹침 수가 전체 그래프의 클리크 크기 w(G)를 초과하지 않으며, 각 반호에 할당되는 색이 기존 8·w(G) 색에 추가로 w(G) 이하만 더 필요하다는 점이다. 따라서 전체 색 사용량은 9·w(G) 로 제한된다.

증명 과정에서는 ‘색 충전(charge) 기법’을 사용한다. First Fit이 새로운 색을 할당할 때마다 해당 색을 담당하는 ‘열’에 가상의 비용을 부여하고, 교차 호가 등장할 때 발생하는 추가 비용을 기존 열에 재분배한다. 이때 각 열에 누적되는 비용이 w(G) 를 초과하지 않도록 보장함으로써 전체 색 수가 9·w(G) 를 넘지 않음을 수학적으로 입증한다. 또한, 최악 경우 입력 순서를 구성해도 이 상한이 타이트함을 보이기 위해, w(G)=k 인 경우에 9k−1 색이 실제로 필요할 수 있음을 예시로 제시한다.

결과적으로, 원형 호 그래프에 대한 First Fit의 색칠 성능을 기존 8·w(G) (인터벌 그래프)에서 9·w(G) 로 확장함으로써, 원형 구조의 특수성을 고려한 새로운 온라인 색칠 이론을 제공한다. 이 접근법은 열 구조를 직접 적용할 수 없는 그래프 클래스에 대한 일반적인 증명 템플릿을 제시한다는 점에서도 학술적 의의가 크다.