웨버 알고리즘 최악 사례 분석과 반복 횟수 상한

초록

본 논문은 켄 웨버가 제안한 $(a,b)$-쌍을 찾는 $k$‑ary 감소 알고리즘의 최악 실행 횟수 $N(k)$를 정밀히 분석한다. 피보나치 수열과 황금비를 이용해 $N(k)\le m(k)=\lfloor\log_{\varphi}\sqrt{k}\rfloor$ 를 보이고, $N(k)=m(k),,m(k)-1,,m(k)-2$ 가 발생하는 정확한 조건을 제시한다. 또한 $c$ 값에 대한 집합 $J_p(k)$ 를 정의해 최악 경우 입력을 완전히 규정한다.

상세 분석

논문은 먼저 JW A(Jebelian‑Weber Algorithm)의 핵심 루프를 수식화하고, 입력을 $k$와 $c\equiv u/v\pmod k$ 로 치환한다. 루프 변수 $(n_i,d_i)$는 확장 유클리드 알고리즘과 동일한 불변식 $n_i|d_{i+1}|+n_{i+1}|d_i|=k$ 를 만족한다. 여기서 $|d_t|$ 가 루프 종료 조건 $|d_t|<\sqrt{k}$ 를 만족하도록 $t$가 정의된다.

Lemma 2.1에서 $|d_t|\ge F_{t+1}$ 를 귀납적으로 증명함으로써 $F_{t+1}<\sqrt{k}$ 를 얻고, 따라서 $t\le m(k)$, 즉 $N(k)\le m(k)$ 를 얻는다. $m(k)$ 은 $\sqrt{k}$ 이하인 최대 피보나치 수 $F_{m+1}$ 의 인덱스로, $m(k)=\lfloor\log_{\varphi}\sqrt{k}\rfloor$ 혹은 $\lceil\log_{\varphi}\sqrt{k}\rceil$ 로 명시된다.

다음 단계에서는 $c$ 가 특정 구간 $I_p(k)$ 에 속할 때 연속된 1들의 부분분수 전개 $