역샘플링을 이용한 비대칭 평균 추정

본 논문은 0과 1 사이에 값이 제한된 확률변수 X의 평균 μ를 비대칭(relative) 오차 ε와 신뢰도 1‑δ 조건 하에 순차적으로 추정하는 새로운 방법을 제시한다. 기존의 고정 표본 크기 방식은 μ가 매우 작을 경우 절대 오차 기준이 상대 오차에 비해 과도하게 큰 표본을 요구한다는 한계가 있다. 이를 극복하기 위해 저자는 “역샘플링”(inverse sampling)이라는 절차를 도입한다. 구체적으로, 표본합 Sₙ=∑_{i=1}^{n}X_i가 사전에 정한 임계값 γ≥1에 도달할 때까지 관측을 계속하고, 그때의 표본 크기 n을 이용해 추정량 ê_μ=γ/n 혹은 b̂_μ=(γ−1)/(n−1) 를 계산한다. **1. 이론적 기반** Theorem 1은 ε∈(0,1), γ>1에 대해 두 추정량의 상대오차 초과 확률을 각각 Q_e(ε,γ)와 Q_b(ε,γ) 로 상한한다. Q_e와 Q_b는 γ에 대해 단조 감소 함수이며, γ가 충분히 크면 (γ>1−ε/ε 또는 γ>1/ε) 이 조건을 만족한다. 또한 Q_e와 Q_b는 연속적이므로, 주어진 (ε,δ)쌍에 대해 Q_e(ε,γ)=δ 혹은 Q_b(ε,γ)=δ 를 만족하는 유일한 최소 γ*가 존재한다. 이 γ*는 이진 탐색을 통해 쉽게 구할 수 있다. **2. 명시적 임계값** Corollary 1은 위 결과를 이용해 실용적인 명시적 상한을 도출한다. γ > (1+ε)·ln(2/δ) /