행렬 곱셈 랭크에 대한 새로운 하한

초록

이 논문은 n×n 행렬 곱셈 연산의 텐서 랭크에 대해 새로운 하한을 제시한다. 정수 p (1 ≤ p ≤ n‑1)를 도입해 “(3‑1/(p+1)) n² ‑ (1+2p·C(2p,p‑1)) n”이라는 식을 얻으며, 이는 기존 Blaser의 5n²/2‑3n보다 n>84에서 항상 우수하다. 또한 직사각형 행렬에 대해서도 기존보다 강한 하한을 제공한다.

상세 분석

행렬 곱셈 연산은 3‑차 텐서 Mₙ ∈ ℂ^{n²×n²×n²} 로 표현되며, 그 텐서 랭크는 알고리즘 복잡도의 하한을 의미한다. 기존에 알려진 비자명한 하한은 Strassen이 제시한 n² + 1, 그리고 Blaser가 증명한 5n²/2 ‑ 3n 정도였으며, 이는 n이 커질수록 상한인 O(n^{2.81})와 큰 격차를 보였다. 본 논문은 “부분 행렬 곱셈 텐서”와 “대칭화” 기법을 결합해 새로운 선형 제한조건을 만든다. 핵심 아이디어는 임의의 정수 p (1≤p≤n‑1)를 선택해, Mₙ을 p‑차원 부분공간에 투사하고, 그 투사 텐서의 랭크를 하한으로 이용하는 것이다. 이때 투사 후 텐서의 차원은 (3‑1/(p+1)) n²에 근접하고, 남는 차원 손실을 정확히 계산하면 “1+2p·C(2p,p‑1)”라는 다항식이 등장한다. 여기서 C(2p,p‑1) 은 중앙 이항계수를 의미하며, p가 커질수록 손실 항은 p·4^{p} 수준으로 증가하지만, 전체 식은 여전히 3n²에 가까워진다. 특히 p=1을 대입하면 Blaser의 5n²/2‑3n이 재현되고, p를 최적화하면 n>84에서 기존 하한을 확실히 초과한다. 직사각형 경우에도 동일한 투사·대칭화 전략을 적용해, 행·열 크기의 비율에 따라 맞춤형 p 값을 선택함으로써 기존 결과보다 더 큰 하한을 얻는다. 논문은 또한 이러한 하한이 “border rank”에도 동일하게 적용될 수 있음을 보이며, 복소수 필드뿐 아니라 실수와 유한체에서도 동일한 논리가 성립함을 논한다. 전체 증명은 선형대수와 조합론적 항등식, 그리고 텐서의 대칭군 작용에 대한 정밀한 차원 계산에 기반한다.