대칭 단일군 범주에서의 트레이스와 고정점 이론

이 논문은 대칭 단일군 범주에서 트레이스 개념을 체계적으로 정립하고, 이를 고정점 이론과 연결시키는 일련의 연구를 제시한다. 서론에서는 전통적인 행렬 트레이스가 범주론적으로 어떻게 일반화될 수 있는지를 소개하고, 특히 고정점 정리(Lefschetz 정리)와의 연관성을 강조한다. 저자는 트레이스와 고정점 사이의 직관적 연결 고리를 설명하기 위해, 입력과 출력이 텐서곱 형태인 일반적인 형태의 사상을 “프로세스”로 해석하고, 입력 중 하나와 출력이 일치할 때 이를 “피드백”으로 연결하는 과정을 시각화한다. 이러한 피드백을 형식화한 것이 바로 트레이스이며, 카르테시안 단일군 범주에서는 직접적인 이중가능 객체가 거의 없으므로, 자유 아벨 군 혹은 스펙트럼과 같은 비카르테시안 단일군 범주로 사상함으로써 이중가능성을 확보한다. 제2절에서는 이중가능성의 정의를 제시한다. 객체 \(M\)가 이중가능하려면 듀얼 \(M^{\ast}\)와 코에발루에이션 \(\eta:I\to M\otimes M^{\ast}\), 에발루에이션 \(\varepsilon:M^{\ast}\otimes M\to I\)가 존재하고 삼각 항등식이 만족되어야 한다. 문자열 다이어그램을 이용해 “컵”과 “캡”을 시각화하고, 삼각 항등식은 끈을 구부렸다가 다시 펴는 동형성을 보장한다. 그 후 정의된 이중가능 구조를 이용해 트레이스를 정의한다. 엔도몰피즘 \(f:M\to M\)에 대해 \(\operatorname{tr}(f)=I\xrightarrow{\eta}M\otimes M^{\ast}\xrightarrow{f\otimes\mathrm{id}}M\otimes M^{\ast}\xrightarrow{s}M^{\ast}\otimes M\xrightarrow{\varepsilon}I\) 로 구성된다. 이 트레이스는 단위 객체 \(I\)의 자기동형사상이며, 선택된 듀얼에 독립적이다. 핵심 성질로는 사이클리티( \(\operatorname{tr}(f\circ g)=\operatorname{tr}(g\circ f)\) ), 자연성(함수에 대한 교환 법칙), 그리고 함수성(합성에 대한 보존)이 있다. 특히 사이클리티는 문자열 다이어그램을 통해 직관적으로 증명되며, 이는 Lefschetz 고정점 정리의 증명에 핵심적인 역할을 한다. 제3절에서는 다양한 구체적 예시를 제시한다. - **벡터 공간**: 유한 차원 객체만 이중가능하고, 트레이스는 행렬 트레이스와 동일하며, Euler 특성은 차원이다. - **모듈**: 유한 생성 프로젝트 모듈이 이중가능하고, 트레이스는 모듈의 랭크(예: \(\mathbb{Z}/p\)‑모듈의 경우 0)이다. - **체인 복합체**: 교환법칙에 부호가 들어가며, 트레이스는 교차점수(Lefschetz number)와 동치, Euler 특성은 교대합 차원이다. - **유도 범주**: 체인 복합체의 유도 범주에서도 동일한 트레이스가 정의된다. - **코보르디즘 범주 \(n\text{Cob}\)**: 객체는 \((n-1)\)-다양체, 모프는 코보르디즘이며, 트레이스는 경계가 없는 \(n\)-다양체를 생성한다. Euler 특성은 \(M\times S^{1}\)이다. - **카르테시안 단일군 범주**: 직접적인 이중가능 객체가 없으므로, 자유 아벨 군 함자 \( \mathbb{Z}