일반화된 하드위거 수의 점근적 행동과 미분형 거리

초록

본 논문은 중심 대칭 타원형 (B) 에 대한 동형 사본을 2차원 영역 (F) 의 경계와 접촉하도록 배치할 때, 가능한 최대 개수를 점근적으로 추정한다. 경계가 가측 길이를 갖는 경우, 그 개수는 (B)가 정의하는 Minkowski 거리에서 (\partial F)의 길이와 정확히 일치한다. 증명은 양의 리치를 가진 곡선을 따라 볼록 구슬을 미끄러뜨리는 새로운 기법을 이용하고, 레벨 집합의 가측성도 확장한다.

상세 분석

논문은 먼저 일반화된 하드위거 수 (N_B(F,\varepsilon)) 를 정의한다. 여기서 (B)는 중심 대칭이며 볼록한 타원형(또는 일반적인 타원)이고, (\varepsilon>0) 은 스케일 인자이다. (N_B(F,\varepsilon)) 는 (\varepsilon B) 의 동형 사본들을 서로 겹치지 않게 배치하면서 각 사본이 (F) 와 최소 하나의 점을 공유하도록 할 때 가능한 최대 개수를 의미한다. 기존 연구에서는 유클리드 거리에서 원 (B) 를 사용했을 때 (\varepsilon\to0) 일 때 (N_B(F,\varepsilon)\sim \frac{L(\partial F)}{2\varepsilon}) 라는 결과가 알려져 있다. 여기서 (L(\partial F)) 는 (\partial F) 의 유클리드 길이이다.

본 논문은 이를 Minkowski 거리, 즉 (B) 가 정의하는 노름 (|\cdot|_B) 로 일반화한다. 핵심은 (\partial F) 가 가측 길이(rectifiable) 를 가질 때, (\varepsilon\to0) 로 갈수록
\