2‑이항 제곱·세제곱 회피와 최적 알파벳 크기

초록

2‑이항 동치(길이 ≤2인 산재 부분단어 개수 동일)를 이용해 제곱·세제곱을 정의하고, 순수 모픽 단어를 통해 3문자 알파벳에서는 2‑이항 제곱을, 2문자 알파벳에서는 2‑이항 세제곱을 각각 회피할 수 있음을 증명한다. 제시된 모픽 g와 h는 각각 해당 회피성을 갖는 고정점이며, 알파벳 크기의 최적성을 보인다.

상세 분석

본 논문은 기존의 아벨리안(문자 개수만 동일) 동치보다 세밀한 2‑이항 동치 개념을 도입한다. 두 단어 u, v가 2‑이항 동치라 함은 길이 ≤2인 모든 단어 x에 대해 산재(subsequence) 등장 횟수가 동일함을 의미한다. 이는 아벨리안 동치가 포함되는 엄격한 관계이며, 예시 1에서 보듯 서로 다른 순열이 2‑이항 동치가 될 수 있음을 보여준다. 이러한 동치를 기반으로 2‑이항 제곱(uv, u∼₂v)과 2‑이항 세제곱(xyz, x∼₂y∼₂z)을 정의한다.

연구의 핵심은 순수 모픽(word morphism) g와 h를 이용해 회피 가능한 무한 단어를 구성하는 것이다. g는 0↦012, 1↦02, 2↦1 로 정의되며, 고정점 x=g^ω(0)는 전통적인 3‑문자 Thue‑Morse 단어와 동일하게 일반 제곱을 회피한다. 저자들은 X={012,02,1}이 프리픽스 코드임을 이용해 x를 X*의 고유 분해 형태로 표현하고, 이를 통해 2‑이항 제곱 회피성을 증명한다. 핵심 보조정리로는 (1) 요소 분해 후 e(u)와 e(v)의 관계, (2) λ(u)=#{01}(u)-#{12}(u)라는 보조 함수가 유지되는지 확인하는 과정이 있다. Lemma 2와 Lemma 3을 통해 u, v가 2‑이항 동치이면 그 전 이미지 u′, v′도 아벨리안 동치이며 λ값이 보존됨을 보이고, 결국 반복 구조가 발생하면 x에 실제 제곱이 존재해야 하는 모순을 얻는다.

2‑이항 세제곱 회피는 이진 알파벳에서 h:0↦001, 1↦011 로 정의된 모픽을 사용한다. 여기서는 확장 파리히 벡터 Ψ₂(u)=(|u|₀,|u|₁,#{00}(u),#{01}(u),#{10}(u),#{11}(u))를 도입하고, M_h라는 6×6 정역행렬을 통해 Ψ₂(h(u))=M_h·Ψ₂(u)임을 보인다. M_h가 가역이므로 2‑이항 동치 관계가 보존된다. Lemma 4·5에서는 특정 형태의 단어 p,q,r을 가정하고, 이들이 동시에 2‑이항 동치가 될 경우 발생하는 모듈러 연산 모순을 정밀히 계산한다. 이를 통해 h의 고정점 z=h^ω(0) 역시 2‑이항 세제곱을 포함하지 않음을 증명한다.

마지막으로 저자들은 g와 h가 각각 2‑이항 제곱·세제곱을 회피하지만, 모픽 자체가 회피성을 보장하지는 않음(예: g(010)에는 2‑이항 제곱이 존재)을 언급하며, 제시된 알파벳 크기(3,2)가 최적임을 강조한다. 전체적으로 2‑이항 동치라는 새로운 동치 관계 하에서 전통적인 회피 문제를 재구성하고, 모픽 기반의 구조적 증명을 통해 최적 알파벳 크기를 확정한 점이 학문적 기여가 크다.