탄성 결합을 위한 벡터 기반 DEM 모델

초록

본 논문은 입자 기반 이산요소법(DEM)에서 강체 입자들을 결합하는 새로운 벡터 기반 모델(V‑model)을 제안한다. 입자에 고정된 벡터를 이용해 단일 결합의 변형을 기술하고, 결합의 퍼텐셜 에너지와 그에 대응하는 힘·모멘트를 유도한다. 모델 파라미터와 결합의 축방향, 전단, 굽힘, 비틀림 강성 사이의 정량적 관계식을 도출했으며, 결합 길이·두께 비에 따라 베르누이‑오일러 막대, 티모센코 막대, 짧은 원통 등 기존 연속체 모델과 정확히 일치하도록 보정하는 두 가지 절차를 제시한다. 마지막으로 직선형 이산 막대와 반구형 껍질의 동적 좌굴 시뮬레이션을 통해 모델의 유효성을 검증한다.

상세 분석

V‑model은 기존 DEM에서 결합을 스프링‑다시프(스프링‑다시프) 형태로 단순화하던 접근을 탈피한다. 입자마다 세 개의 고정 벡터를 정의하고, 두 입자 사이의 결합을 이 벡터들의 상대 변위·회전으로 표현한다. 이렇게 하면 결합의 변형을 6자유도(3번역, 3회전) 전부를 포함하는 완전한 텐서 형태로 기술할 수 있다. 논문은 먼저 결합의 퍼텐셜 에너지를
(U = \frac{1}{2}k_n (\Delta l)^2 + \frac{1}{2}k_s |\Delta \mathbf{t}|^2 + \frac{1}{2}k_b \theta_b^2 + \frac{1}{2}k_t \theta_t^2)
와 같이 네 개의 독립적인 강성 계수(축방향, 전단, 굽힘, 비틀림)로 분리한다. 여기서 (\Delta l)은 결합 길이 변화, (\Delta \mathbf{t})는 전단 변위, (\theta_b)와 (\theta_t)는 각각 굽힘·비틀림 각도이다. 이 식으로부터 힘 (\mathbf{F}= -\partial U/\partial \mathbf{r})와 모멘트 (\mathbf{M}= -\partial U/\partial \boldsymbol{\phi})를 직접 유도함으로써, 수치 해석에서 에너지 보존과 일관된 힘·모멘트 전달이 보장된다.

핵심은 네 강성 계수를 물리적 파라미터와 정확히 연결시키는 식을 도출한 점이다. 결합을 원통형 재료(길이 (L), 반지름 (r))로 가정하면, 전통적인 연속체 이론에 따라
(k_n = EA/L,; k_s = GA/L,; k_b = EI/L,; k_t = GJ/L)
와 같은 관계가 얻어진다. 여기서 (E)는 영률, (G)는 전단계수, (A)는 단면적, (I)는 단면 2차 모멘트, (J)는 폴라 모멘트이다. 논문은 이 관계를 두 가지 보정 절차에 적용한다. 첫 번째는 (L/r \gg 1)인 얇은 막대에 대해 베르누이‑오일러 가정(전단 변형 무시)을 사용하고, 두 번째는 (L/r)가 작아 전단 변형이 무시할 수 없을 때 티모센코 이론을 적용한다. 두 경우 모두 모델 파라미터를 선택하면, 작은 변형 한계에서 V‑model이 정확히 연속체 해석과 일치한다는 것을 증명한다.

또한, 결합 길이가 입자 직경과 비슷하거나 더 짧은 경우(짧은 원통)에도 동일한 식을 적용할 수 있도록, 전단 변형과 굽힘 변형을 동시에 고려한 일반화된 강성 매트릭스를 제시한다. 이렇게 하면 임의의 (k_n, k_s, k_b, k_t) 조합을 구현할 수 있어, 복합재료나 비균질 구조에서도 유연하게 모델링이 가능하다.

수치 실험에서는 직선형 이산 막대를 구성해 동적 좌굴 현상을 시뮬레이션하였다. 초기 압축 하중을 가하면서 작은 결함을 도입하면, 전통적인 Euler 좌굴 이론과 동일한 임계 하중을 관찰했다. 이어서 반구형 껍질을 입자 네트워크로 재구성하고, 외부 압축을 가했을 때 전형적인 셸 좌굴 모드가 발생함을 확인했다. 두 사례 모두 V‑model이 복잡한 3차원 변형을 정확히 포착하고, 에너지 보존이 유지되는 것을 보여준다.

결론적으로, V‑model은 기존 스프링‑다시프 기반 DEM의 한계를 극복하고, 물리적 강성 매개변수를 직접 입력함으로써 설계자에게 직관적인 파라미터 튜닝을 가능하게 한다. 또한, 베르누이‑오일러, 티모센코, 짧은 원통 등 다양한 연속체 모델과 일치하도록 보정할 수 있어, 다중 스케일 시뮬레이션이나 복합재 설계에 매우 유용한 도구가 된다.