3차원 축과 평면 무작위 할당 문제를 위한 효율적인 알고리즘

초록

본 논문은 3차원 무작위 할당 문제의 두 변형인 축(Axial)과 평면(Planar) 버전에 대해 비용 스케일링을 분석하고, 각각에 대해 고확률로 근접 최적 해를 찾는 선형시간(축) 및 준선형시간(평면) 알고리즘을 제시한다. 축 문제에서는 비용이 Ω(1/n) 이하로 감소함을 보이고, 제안 알고리즘이 O(n^{-1+o(1)}) 비용을 달성한다. 평면 문제에서는 비용 하한이 Ω(n)이며, 새로운 매칭 기반 알고리즘이 O(n log n) 비용을 보장한다.

상세 요약

이 논문은 기존에 2차원 할당 문제에서만 알려진 기대 비용의 정확한 식을 3차원으로 확장하려는 시도에서 출발한다. 3차원에서는 두 가지 자연스러운 모델이 존재한다. 첫 번째는 “축(Axial)” 모델로, 각 삼중항이 하나의 축을 따라 정렬된 형태이며, 이는 n×n×n 입방체에서 각 좌표축에 대해 완전 매칭을 찾아야 하는 문제와 동등하다. 두 번째는 “평면(Planar)” 모델로, 각 삼중항이 서로 다른 두 평면에 걸쳐 배치되어, 세 축이 동시에 만족되는 매칭을 요구한다. 두 모델 모두 NP‑hard임이 알려져 있어 정확한 최적 해를 다항시간에 구하는 것은 불가능하다고 본다.

축 모델에 대해 저자들은 비용 하한을 Ω(1/n)으로 증명한다. 이는 무작위 비용이