체비쉐프 기저에서의 다항식 곱셈 효율화

초록

본 논문은 체비쉐프 기저에서 다항식을 곱하는 문제를 기존의 카라츠바 기반 방법보다 더 일반적인 단항식 기저 알고리즘에 직접 연결하는 새로운 환원 기법을 제시한다. 이를 통해 차수가 큰 경우에도 기존 최선 알고리즘을 능가하는 실험적 성능을 보이며, 단항식 기저와 체비쉐프 기저 사이의 선형 시간 동등성을 증명한다.

상세 요약

이 연구는 체비쉐프 다항식 Tₙ(x) = cos(n·arccos x) 로 정의되는 기저에서의 곱셈 연산을 근본적으로 재구성한다. 기존 문헌에서 제시된 Lima·Panario·Wang의 접근법은 카라츠바 알고리즘을 차용해 곱셈 횟수를 약간 감소시켰지만, 근본적인 시간 복잡도는 여전히 O(n²) 수준에 머물렀다. 저자들은 이 한계를 극복하기 위해 “직접 환원(direct reduction)”이라는 개념을 도입한다. 핵심 아이디어는 체비쉐프 계수를 그대로 유지하면서, 두 다항식의 곱을 단항식(표준) 기저에서의 곱셈 문제로 변환하는 것이다. 구체적으로, 체비쉐프 다항식의 곱셈 공식
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