컴퓨팅 가능한 우주: 물리 모델의 형식적 정의와 구현

초록

이 논문은 물리 시스템 모델을 “컴퓨팅 가능”하다고 판단하는 엄밀한 정의를 제시한다. 상태 집합을 재귀적(컴퓨터가 열거·판별 가능한) 정수 집합으로, 관측량을 그 집합 위의 전역 재귀 함수로 표현한다. 크레이젤의 기계론적 기준을 검토하고, 이 정의가 기존의 셀룰러 오토마톤·네트워크 모델을 포함함을 보인다. 이산·연속 행성 운동, 방사성 붕괴와 같은 확률 모델을 사례로 들며, 타입‑투 효과성(TTE) 이론을 이용해 위상공간 위의 모델을 구성한다. 마지막으로, 모든 물리 법칙이 재귀적 함수로 기술될 수 있다는 “컴퓨팅 가능한 우주 가설”을 형식화한다.

상세 분석

논문은 먼저 물리 모델을 “상태 집합 S와 관측량 함수 φ”라는 전통적 형식으로 소개한다. 여기서 핵심 문제는 물리량이 실수값을 사용하지만, 재귀 함수는 비음수 정수에만 정의된다는 점이다. 저자는 실험 측정이 유한한 정밀도만을 제공한다는 사실을 이용해, 모든 관측량을 비음수 정수(또는 정수 쌍·삼중 등)로 코딩할 수 있음을 보인다. Cantor의 쌍함수와 소수점 전개를 이용한 인코딩을 통해 실수, 유리수, 심지어 무리수까지도 “오라클” 형태의 재귀 함수로 표현한다.

정의 2.1에 따르면, 컴퓨팅 가능한 물리 모델은 (1) 재귀적 집합 S(상태들의 코드)와 (2) 각 관측량을 S 위의 전역 재귀 함수 φ로 구성된다. 이때 φ는 입력 상태 코드를 받아 정수값을 반환하므로, 모든 예측은 알고리즘적으로 계산 가능하다. 이러한 정의는 Kreisel이 제시한 “기계론적 기준”을 강화한다. Kreisel의 기준은 관측 가능한 실수값이 데이터에 대해 재귀적으로 연관되어야 한다고 요구하지만, 연속성이나 불연속성 때문에 실제 물리 모델이 이를 만족하지 못한다는 문제가 있다. 논문은 정의 2.1이 이러한 문제를 회피하도록 설계되었으며, 불연속점에서도 상태 코드를 적절히 겹치게 함으로써 예측 가능성을 보존한다.

구체적 사례로는 세 가지 모델이 제시된다. 첫 번째는 이산 행성 운동 모델(모델 3.1) 로, 시간과 각도를 0.1년·0.1도 단위의 구간으로 양자화하고, 겹치는 구간을 도입해 실제 관측 오차를 반영한다. 두 번째는 비이산 연속 모델(모델 4.1) 로, 정수 n에 따라 구간 길이가 점점 작아지는 방식으로 실수값에 대한 무한 수열(오라클)을 제공한다. 여기서 실수 x는 “오라클 함수 ox”에 의해 정의되며, ox가 재귀적이면 x를 재귀 실수라 부른다. 세 번째는 확률적 모델(방사성 붕괴)로, 사건 발생 확률을 재귀적 함수로 기술하고, 통계적 앙상블을 구성하는 연산(코스그레이닝, 평균 등)을 모두 재귀적으로 구현한다.

또한 논문은 타입‑투 효과성(TTE) 이론을 도입해, 위상공간 위의 연속 함수와 측정 연산을 효과적인 이름공간에 매핑한다. 이를 통해 실수값을 직접 다루는 대신, 그 근사열(오라클)만을 다루어도 충분함을 보인다. 마지막으로, 컴퓨팅 가능한 우주 가설을 “우주의 상태 집합 U가 재귀적이며, 모든 관측량이 전역 재귀 함수 φ로 표현된다”는 형태로 정형화한다. 이 가설은 기존 물리학의 연속적·확률적 법칙을 모두 재귀 함수로 환원할 수 있음을 주장한다.

전체적으로 논문은 물리 모델을 전산학적 관점에서 재구성함으로써, “모든 물리 법칙은 알고리즘적으로 구현 가능하다”는 메타 물리학적 주장을 엄밀히 다루고 있다.