곡선 필드와 제한된 곡률을 가진 다양체에서의 위상 샘플링

본 논문은 “노이즈가 섞인 점 구름을 이용해 컴팩트 집합을 복원하는 문제”를 다루며, 기존의 거리 함수 임계점(critical point) 기반 이론을 확장한다. 먼저, 거리 함수 d_K(x)=dist(x,K) 의 그래디언트 크기가 µ 이하인 점을 µ‑임계점이라 정의하고, µ‑reach 라는 개념을 소개한다. µ‑reach 는 거리 함수의 µ‑임계점이 오프셋 안에 존재하지 않는 최대 반경을 의미한다. 기존 연구에서는 µ‑reach 가 충분히 크면 샘플링이 충분히 촘촘하다고 가정하고 복원을 보였지만, µ‑reach 자체는 Hausdorff 거리 변화에 대해 안정적이지 않아 실용적인 조건을 제시하기 어려웠다. 이를 해결하기 위해 저자는 “원뿔 필드(cone field)”라는 새로운 기하학적 구조를 도입한다. 원뿔 필드는 각 점 x∈M 에 대해 단위 접벡터 w_x 와 각도 β_x 로 정의된 원뿔 C(w_x,β_x) 를 할당한다. 원뿔이 급(acute)하면 β_x < π/2 이다. 원뿔 필드가 상하 반연속(upper/lower semicontinuous) 조건을 만족하면, 해당 원뿔의 보완 원뿔에 속하는 매끄러운 벡터 필드가 존재한다는 정리를 증명한다. 이 매끄러운 벡터 필드의 흐름은 점들을 원본 집합 쪽으로 끌어당겨, 오프셋 K_r 를 K_{r−δ} 로 변형축소(deformation retract)할 수 있게 만든다. 핵심 아이디어는 “r‑스패닝 원뿔 필드”이다. 점 x 에서 K_δ∩B(x,r) 를 포함하도록 최소한의 급 원뿔 C(w_x,β_x) 를 찾고, 이 원뿔이 급하고 존재한다면 그 보완 원뿔에 매끄러운 벡터 필드를 구성한다. 원뿔 필드가 상하 반연속성을 갖는 충분조건은 µ‑임계점이 특정 원환 영역에 존재하지 않는다는 것이다. 구체적으로, K 의